当前位置:文档之家› 平行四边形知识点及练习题含答案

平行四边形知识点及练习题含答案

平行四边形知识点及练习题含答案一、解答题1.如图,在Rt ABC ∆中,090BAC ∠=,D 是BC 的中点,E 是AD 的中点,过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F(1)求证:四边形ADCF 是菱形(2)若4,5AC AB ==,求菱形ADCF 的面积2.在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=8cm ,AD=16cm ,BC=22cm ,∠ABC=90°.点P 从点A 出发,以1cm/s 的速度向点D 运动,点Q 从点C 同时出发,以3cm/s 的速度向点B 运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动时间为t 秒.(1)当t= 时,四边形ABQP 成为矩形?(2)当t= 时,以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形?(3)四边形PBQD 是否能成为菱形?若能,求出t 的值;若不能,请说明理由,并探究如何改变Q 点的速度(匀速运动),使四边形PBQD 在某一时刻为菱形,求点Q 的速度.3.综合与探究(1)如图1,在正方形ABCD 中,E 是AB 上一点,F 是AD 延长线上一点,且DF BE =.CE 和CF 之间有怎样的关系.请说明理由.(2)如图2,在正方形ABCD 中,E 是AB 上一点,G 是AD 上一点,如果45GCE ∠=︒,请你利用(1)的结论证明:GE BE CD =+.(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图3在直角梯形ABCD 中,//()AD BC BC AD >,90B ∠=︒,12AB BC ==,E 是AB 上一点,且45DCE ∠=︒,4BE =,求DE 的长.4.正方形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一个动点(点P 不与点B ,O ,D 重合),连接CP 并延长,分别过点D ,B 向射线作垂线,垂足分别为点M ,N .(1)补全图形,并求证:DM =CN ;(2)连接OM ,ON ,判断OMN 的形状并证明.5.如图,在平面直角坐标系中,已知▱OABC 的顶点A (10,0)、C (2,4),点D 是OA 的中点,点P 在BC 上由点B 向点C 运动.(1)求点B 的坐标;(2)若点P 运动速度为每秒2个单位长度,点P 运动的时间为t 秒,当四边形PCDA 是平行四边形时,求t 的值;(3)当△ODP 是等腰三角形时,直接写出点P 的坐标.6.已知如图1,四边形ABCD 是正方形,45EAF ︒∠= .()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==,求EF 的长;()2如图2,若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时,求证: .EF DF BE =-()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形,但满足,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===,请你直接写出BE 的长.7.共顶点的正方形ABCD 与正方形AEFG 中,AB =13,AE 2.(1)如图1,求证:DG =BE ;(2)如图2,连结BF ,以BF 、BC 为一组邻边作平行四边形BCHF .①连结BH ,BG ,求BH BG的值; ②当四边形BCHF 为菱形时,直接写出BH 的长.8.感知:如图①,在正方形ABCD 中,E 是AB 一点,F 是AD 延长线上一点,且DF BE =,求证:CE CF =;拓展:在图①中,若G 在AD ,且45GCE ∠︒=,则GE BE GD +=成立吗?为什么? 运用:如图②在四边形ABCD 中,()//AD BC BC AD >,90A B ∠∠︒==,16AB BC ==,E 是AB 上一点,且45DCE ∠︒=,4BE =,求DE 的长.9.如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .(1)求出直线BC 的解析式;(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 10,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值.(3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标;若不存在,请说明理由.10.如图,ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==,点P 从点A 出发,沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动,连接PO ,并延长交BC 于点Q .设点P 的运动时间为t 秒.(1)求BQ 的长(用含t 的代数式表示);(2)当四边形ABQP 是平行四边形时,求t 的值;(3)当325t =时,点O 是否在线段AP 的垂直平分线上?请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、解答题1.(1)见解析(2)10【分析】(1)先证明AFE DBE ∆≅∆,得到AF DB =,AF CD =,再证明四边形ADCF 是平行四边形,再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12AD DC BC ==,即可证明四边形ADCF 是菱形。

(2)连接DF ,证明四边形ABDF 是平行四边形,得到5DF AB ==,利用菱形的求面积公式即可求解。

【详解】(1)证明: ∵//BC AF ,∴AFE DBE ∠=∠,∵E 是AD 的中点,AD 是BC 边上的中线,∴,AE DE BD CD ==,在AFE ∆和DBE ∆中, AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()AFE DBE AAS ∆≅∆,∴AF DB =.∵DB DC =,∴AF CD =.∵//BC AF ,∴四边形ADCF 是平行四边形,∵090BAC ∠=,D 是BC 的中点,E 是AD 的中点,∴12AD DC BC ==,∴四边形ADCF 是菱形; (2)如图,连接DF ,∵//,AF BD AF BD =,∴四边形ABDF 是平行四边形,∴5DF AB ==,∵四边形ADCF 是菱形,∴11451022ADCF S AC DF ==⨯⨯=菱形. 【点睛】本题主要考查全等三角形的应用,菱形的判定定理以及菱形的性质,熟练掌握菱形的的判定定理和性质是解此题的关键。

2.(1)112;(2)112或4;(3)四边形PBQD 不能成为菱形 【分析】 (1)由∠B=90°,AP ∥BQ ,由矩形的判定可知当AP=BQ 时,四边形ABQP 成为矩形; (2)由(1)可求得点P 、Q 与点A 、B 为顶点的四边形为平行四边形;然后由当PD=CQ 时,CDPQ 是平行四边形,求得t 的值;(3)由PD ∥BQ ,当PD=BQ=BP 时,四边形PBQD 能成为菱形,先由PD=BQ 求出运动时间t 的值,再代入求BP ,发现BP≠PD ,判断此时四边形PBQD 不能成为菱形;设Q 点的速度改变为vcm/s 时,四边形PBQD 在时刻t 为菱形,根据PD=BQ=BP 列出关于v 、t 的方程组,解方程组即可求出点Q 的速度.【详解】(1)如图1,∵∠B=90°,AP ∥BQ ,∴当AP=BQ 时,四边形ABQP 成为矩形,此时有t=22﹣3t ,解得t=112. ∴当t=112时,四边形ABQP 成为矩形; 故答案为112; (2)如图1,当t=112时,四边形ABQP 成为矩形, 如图2,当PD=CQ 时,四边形CDPQ 是平行四边形,则16﹣t=3t ,解得:t=4, ∴当t=112或4时,以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四故答案为112或4;(3)四边形PBQD 不能成为菱形.理由如下:∵PD ∥BQ ,∴当PD=BQ=BP 时,四边形PBQD 能成为菱形.由PD=BQ ,得16﹣t=22﹣3t ,解得:t=3,当t=3时,PD=BQ=13,BP=22AB AP + =228t +=2283+=73≠13,∴四边形PBQD 不能成为菱形;如果Q 点的速度改变为vcm/s 时,能够使四边形PBQD 在时刻ts 为菱形,由题意,得221622168t vtt t-=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩,解得62t v =⎧⎨=⎩. 故点Q 的速度为2cm/s 时,能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形.【点睛】此题属于四边形的综合题.考查了矩形的判定、菱形的判定以及勾股定理等知识.注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键.3.(1)CE=CF 且CE ⊥CF ,理由见解析;(2)见解析;(3)10【分析】(1)根据正方形的性质,可证明△CBE ≌△CDF (SAS ),从而得出CE=CF ,∠BCE=∠DCF ,再利用余角的性质得到CE ⊥CF ;(2)延长AD 至M ,使DM=BE ,连接CM ,由△BEC ≌△DFC ,可得∠BCE=∠DCF ,即可求∠GCF=∠GCE=45°,且GC=GC ,EC=CF 可证△ECG ≌△GCF (SAS ),则结论可求. (3)过点C 作CF ⊥AD 于F ,可证四边形ABCF 是正方形,根据(2)的结论可得DE=DF+BE=4+DF ,根据勾股定理列方程可求DF 的长,即可得出DE .解:(1)CE=CF且CE⊥CF,证明:如图1,∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠B=∠CDF=90°,又∵BE=DF,∴△CBE≌△CDF(SAS),∴CE=CF,∠BCE=∠DCF,∵∠BCD=∠BCE+∠ECD=90°,∴∠ECD+∠DCF=90°,即CE⊥CF;(2)延长AD至M,使DM=BE,连接CM,∵∠GCE=45°,∴∠BCE+∠GCD=45°,∵△BEC≌△DFC,∴∠BCE=∠DCF,∴∠DCF+∠GCD=45°,即∠GCF=45°,∴∠GCE=∠GCF,且GC=GC,CE=CF,∴△GCE≌△GCF(SAS),∴GE=GF,∴GE=GD+DF=BE+GD;(3)如图:过点C作CF⊥AD于F,∵AD∥BC,∠B=90°,∴∠A=90°,∵∠A=∠B=90°,FC⊥AD,∴四边形ABCF是矩形,且AB=BC=12,∴四边形ABCF是正方形,∴AF=12,由(2)可得DE=DF+BE ,∴DE=4+DF ,在△ADE 中,AE 2+DA 2=DE 2.∴(12-4)2+(12-DF )2=(4+DF )2.∴DF=6,∴DE=4+6=10.【点睛】本题是四边形综合题,考查了正方形的性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,四边形的面积,熟练掌握正方形的性质是解题的关键.4.(1)见解析;(2)MON 为等腰直角三角形,见解析【分析】(1)如图1,由正方形的性质得CB =CD ,∠BCD =90°,再证明∠BCN =∠CDM ,然后根据“AAS”证明△CDM ≌△CBN ,从而得到DM =CN ;(2)如图2,利用正方形的性质得OD =OC ,∠ODC =∠OCB =45°,∠DOC =90°,再利用∠BCN =∠CDM 得到∠OCN =∠ODM ,则根据“SAS”可判断△OCN ≌△ODM ,从而得到ON =OM ,∠CON =∠DOM ,所以∠MON =∠DOC =90°,于是可判断△MON 为等腰直角三角形.【详解】(1)证明:如图1,∵四边形ABCD 为正方形,∴CB =CD ,∠BCD =90°,∵DM ⊥CP ,BN ⊥CP ,∴∠DMC =90°,∠BNC =90°,∵∠CDM+∠DCM =90°,∠BCN+∠DCM =90°,∴∠BCN =∠CDM ,在△CDM 和△CBN 中DMC CNB CD CBCDM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△CDM ≌△CBN ,∴DM =CN ;(2)解:△OMN 为等腰直角三角形.理由如下:如图2,∵四边形ABCD 为正方形,∴OD =OC ,∠ODC =∠OCB =45°,∠DOC =90°,∵∠BCN =∠CDM ,∴∠BCN ﹣45°=∠CDM ﹣45°,即∠OCN =∠ODM ,在△OCN 和△ODM 中CN DM OCN ODM OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△OCN ≌△ODM ,∴ON =OM ,∠CON =∠DOM ,∴∠MON =∠DOC =90°, ∴MON 为等腰直角三角形.【点睛】本题考查正方形的性质:正方形的四条边都相等,四个角都是直角;正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质;两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形,同时,正方形又是轴对称图形,有四条对称轴.也考查全等三角形的判定与性质.5.(1)B (12,4);(2)52t s =;(3)58,4,3,4,2,4,,42 【分析】(1)由四边形OABC 是平行四边形,得到OA BC =,//OA BC ,于是得到 10OA =,2OE AF ,可求出点B 的坐标; (2)根据四边形PCDA 是平行四边形,得到PC AD =,即1025t -=,解方程即可得到结论;(3)如图2,可分三种情况:①当5PD OD 时,②当5PO OD 时,③当 PD OP =时分别讨论计算即可.【详解】解:如图1,过C 作CE OA ⊥于E ,过B 作BF OA ⊥于 F ,四边形OABC 是平行四边形,OA BC ,//OA BC , A ,C 的坐标分别为(10,0), (2,4), 10OA ∴=,2OE AF , 10BC ∴=,(12,4)B ;(2)设点P 运动t 秒时,四边形PCDA 是平行四边形,由题意得:102PC t =-,点D 是OA 的中点, 152OD BC AD OA ,四边形PCDA 是平行四边形,PC AD ,即1025t -=,52t ∴=, ∴当52t =秒时,四边形PCDA 是平行四边形; (3)如图2,①当5PDOD 时,过1P 作1PE OA 于 E ,则14PE ,3DE ∴=,1(8,4)P ,又D ,C 的坐标分别为()5,0,(2,4),∴225245CD ,即有,当点P 与点C 重合时,5PD OD ,2,4P ; ②当5PO OD 时,过2P 作2P G OA 于 G , 则24P G ,3OG ∴=,2(3,4)P ;③当PD OP =时,过3P 作3P F OA 于 F , 则34P F ,52OF =, 35(2P ,4); 综上所述:当ODP ∆是等腰三角形时,点P 的坐标为(8,4), 5(2,4),(3,4),(2,4). 【点睛】本题是四边形综合题,考查了平行四边形的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键.6.(1)5EF =;(2)见解析;(3)5BE =【分析】 (1)先用SAS 证ABG ≌ADF ,可得AG=AF ,∠BAG=∠DAF ,又可证∠EAG=∠EAF ,故可用SAS 证GAE ≌FAE ,EF=GE ,即EF 长度可求;(2)在DF 上取一点G ,使得DG=BE , 连接AG ,先用SAS 证ABE ≌ADG ,可得AE=AG ,∠BAE=∠DAG ,又可证∠EAF=∠GAF ,故可用SAS 证AEF ≌AGF ,可得EF=GF ,且DG=BE ,故EF=DF-DG=DF-BE ;(3)在线段DF 上取BE=DG ,连接AG ,求证∠ABE=∠ADC ,即可用SAS 证ABE ≌ADG ,可得AE=AG ,∠BAE=∠DAG ,又可证∠EAF=∠GAF ,故可用SAS 证AEF ≌AGF ,可得EF=GF ,设BE=x ,则CE= 7+x ,EF=18-x ,根据勾股定理:222CE CF =EF +,即可求得BE 的长度.【详解】解:(1)证明:如图1所示,在正方形ABCD 中,AB=AD ,∠BAD=90°,在ABG 和ADF 中,AB=AD ABG=ADF BG=DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩ ∴ABG ≌ADF (SAS ),∴AG=AF ,∠BAG=∠DAF ,又∵∠DAF+∠FAB=∠FAB+∠BAG=90°,且∠EAF=45°,∴∠EAG=∠FAG-∠EAF=45°=∠EAF ,在GAE 和FAE 中,AG=AF GAE=FAE AE=AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴GAE ≌FAE (SAS ),∴EF=GE=GB+BE=2+3=5;(2)如下图所示,在DF 上取一点G ,使得DG=BE , 连接AG ,∵四边形ABCD 是正方形,故AB=AD ,∠ABE=∠ADG=90°, 在ABE 和ADG 中,AB=AD ABE=ADG=90BE=DG ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴ABE ≌ADG (SAS ),∴AE=AG ,∠BAE=∠DAG ,∵∠BAG+∠DAG=90°,故∠BAG+∠BAE=90°,∵∠EAF=45°,故∠GAF=45°,∠EAF=∠GAF=45°, 在AEF 和AGF 中,AE=AG EAF=GAF=45AF=AF ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴AEF ≌AGF (SAS ),∴EF=GF ,且DG=BE ,∴EF=DF-DG=DF-BE ;(3)BE=5,如下图所示,在线段DF 上取BE=DG ,连接AG ,∵∠BAD=∠BCD=90°,故∠ABC+∠ADC=180°,且∠ABC+∠ABE=180°,∴∠ABE=∠ADC , 在ABE 和ADG 中,AB=AD ABE=ADG BE=DG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴ABE ≌ADG (SAS ),∴AE=AG ,∠BAE=∠DAG ,∵∠BAG+∠DAG=90°,故∠BAG+∠BAE=90°,∵∠EAF=45°,故∠GAF=45°,∠EAF=∠GAF=45°, 在AEF 和AGF 中,AE=AG EAF=GAF=45AF=AF ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴AEF ≌AGF (SAS ),∴EF=GF ,设BE=x ,则CE=BC+BE =7+x ,EF=GF=DC+CF-DG= DC+CF-BE=18-x ,在直角三角形ECF 中,根据勾股定理:222CE CF =EF +,即:222(7+x)5=(18-x)+,解得x=5,∴BE=x=5.【点睛】本题主要考察了全等三角形的证明及性质、勾股定理,解题的关键在于添加辅助线,找出全等三角形,并用对应边/对应角相等的定理,解决该题.7.(1)证明见解析;(2)①2BH BG=②BH 的长为2或2. 【分析】(1)证()DAG BAE SAS △≌△,即可得出结论;(2)①连接GH ,延长HF 交AB 于N ,设AB 与EF 的交点为M ,证()GAB GFH SAS △≌△,得GH GB =,GHF GBA ∠=∠,证GHB ∆为等腰直角三角形,即得结论;②分两种情况,证出点B 、E 、G 在一条直线上,求出210AF EG AE ===,则5OA OG OE ===,由勾股定理求出12OB =,求出BG ,即可得出答案.【详解】(1)∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形,∴AD =AB =CB ,AG =AE ,∠DAB =∠GCE =90°,∴∠DAB ﹣∠GAF =∠GCE ﹣∠GAF ,即∠DAG =∠BAE ,在△DAG 和△BAE 中,AD AE DAG BAE AG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DAG ≌△BAE (SAS),∴DG =BE ;(2)①连接GH ,延长HF 交AB 于N ,设AB 与EF 的交点为M ,如图2所示:∵四边形BCHF 是平行四边形,∴HF //BC ,HF =BC =AB .∵BC ⊥AB ,∴HF ⊥AB ,∴∠HFG =∠FMB ,又AG //EF ,∴∠GAB =∠FMB ,∴∠HFG =∠GAB ,在△GAB 和△GFH 中,AG FG GAB HFG AB FH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△GAB ≌△GFH (SAS),∴GH =GB ,∠GHF =∠GBA ,∴∠HGB =∠HNB =90°,∴△GHB 为等腰直角三角形,∴BH 2=BG , ∴2BH BG=; ②分两种情况:a 、如图3所示:连接AF 、EG 交于点O ,连接BE .∵四边形BCHF 为菱形,∴CB =FB .∵AB =CB ,∴AB =FB =13,∴点B 在AF 的垂直平分线上.∵四边形AEFG 是正方形,∴AF =EG ,OA =OF =OG =OE ,AF ⊥EG ,AE =FE =AG =FG ,∴点G 、点E 都在AF 的垂直平分线上,∴点B 、E 、G 在一条直线上,∴BG ⊥AF .∵AE 2,∴AF =EG 2==10,∴OA =OG =OE =5,∴OB 2222135AB OA -=-=12, ∴BG =OB +OG =12+5=17, 由①得:BH 2=2; b 、如图4所示:连接AF 、EG 交于点O ,连接BE ,同上得:点B 、E 、G 在一条直线上,OB =12,BG =OG +OB ﹣OG =12﹣5=7,由①得:BH 2=2; 综上所述:BH 的长为2或2. 【点睛】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识;本题综合性强,熟练掌握正方形的性质和菱形的性质,证明三角形全等是解题的关键.8.(1)见解析;(2)GE=BE+GD 成立,理由见解析;(3)685【分析】(1)利用已知条件,可证出△BCE ≌△DCF (SAS ),即可得到CE=CF ;(2)借助(1)的结论得出∠BCE =∠DCF ,再通过角的计算得出∠GCF =∠GCE ,由SAS 可得△ECG ≌△FCG ,则EG=GF ,从而得出GE=DF+GD=BE+GD ;(3)过C 作CG ⊥AD ,交AD 延长线于G ,先证四边形ABCG 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形),再设DE =x ,利用(1)、(2)的结论,在Rt △AED 中利用勾股定理构造方程即可求出DE .【详解】(1)证明:如图①,在正方形ABCD 中,BC=CD ,∠B =∠ADC =90°,∴∠CDF=90°,即∠B =∠CDF =90°,在△BCE 和△DCF 中, BC DC B CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE ≌△DCF (SAS ),∴CE=CF ;(2)解:如图①,GE=BE+GD 成立,理由如下:由(1)得△BCE ≌△DCF ,∴∠BCE=∠DCF ,∴∠ECD +∠ECB=∠ECD +∠FCD ,即∠ECF =∠BCD =90°,又∵∠GCE =45°,∴∠GCF =∠ECF −∠ECG =45°,则∠GCF=∠GCE ,在△GEC 和△GFC 中,CE CF GCE GCF GC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△GEC ≌△GFC (SAS ),∴EG=GF ,∴GE=DF+GD=BE+GD ;(3)解:如图②,过C 作CG ⊥AD 于G ,∴∠CGA=90°,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠A =∠B =90°,∴四边形ABCG 为矩形,又∵AB=BC ,∴四边形ABCG 为正方形,∴AG =BC=AB =16,∵∠DCE =45°,由(1)和(2)的结论可得:ED=BE+DG ,设DE=x ,∵4BE =,∴AE =12,DG=x −4,∴AD =AG −DG =20−x在Rt △AED 中,由勾股定理得:DE 2=AD 2+AE 2,即x 2=(20−x )2+122 解得:685=x , 即685=DE . 【点睛】本题是一道几何综合题,内容主要涉及全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用,重点考查学生的数学学习能力,是一道好题.9.(1)123y x=-+;(2)t=23s时,四边形ABMN是平行四边形;(3)存在,点Q 坐标为:618,55⎛⎫⎪⎝⎭或(3,1)-或(3,1)-或155,88⎛⎫-⎪⎝⎭.【分析】(1)如图1中,作BH⊥x轴于H.证明△COA≌△AHB(AAS),可得BH=OA=1,AH=OC=2,求出点B坐标,再利用待定系数法即可解决问题.(2)利用平行四边形的性质求出点N的坐标,再求出AN,BM,CM即可解决问题.(3)如图3中,当OB为菱形的边时,可得菱形OBQP,菱形OBP1Q1.菱形OBP3Q3,当OB为菱形的对角线时,可得菱形OP2BQ2,点Q2在线段OB的垂直平分线上,分别求解即可解决问题.【详解】(1)如图1中,作BH⊥x轴于H.∵A(1,0)、C(0,2),∴OA=1,OC=2,∵∠COA=∠CAB=∠AHB=90°,∴∠ACO+∠OAC=90°,∠CAO+∠BAH=90°,∴∠ACO=∠BAH,∵AC=AB,∴△COA≌△AHB(AAS),∴BH=OA=1,AH=OC=2,∴OH=3,∴B(3,1),设直线BC的解析式为y=kx+b,则有231bk b=⎧⎨+=⎩,解得:132kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴123y x=-+;(2)如图2中,∵四边形ABMN是平行四边形,∴AN∥BM,∴直线AN的解析式为:1133y x=-+,∴10,3N⎛⎫ ⎪⎝⎭,∴103 BM AN==,∵B(3,1),C(0,2),∴BC=10,∴210 CM BC BM=-=,∴2102103t=÷=,∴t=23s时,四边形ABMN是平行四边形;(3)如图3中,如图3中,当OB为菱形的边时,可得菱形OBQP,菱形OBP1Q1.菱形OBP3Q3,连接OQ交BC于E,∵OE⊥BC,∴直线OE的解析式为y=3x,由3123y xy x=⎧⎪⎨=-+⎪⎩,解得:3595xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴E(35,95),∵OE=OQ,∴Q(65,185),∵OQ1∥BC,∴直线OQ1的解析式为y=-13 x,∵OQ1,设Q1(m,-1m3),∴m2+19m2=10,∴m=±3,可得Q1(3,-1),Q3(-3,1),当OB为菱形的对角线时,可得菱形OP2BQ2,点Q2在线段OB的垂直平分线上,易知线段OB的垂直平分线的解析式为y=-3x+5,由3513y xy x=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得:15858xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴Q2(158,58-).综上所述,满足条件的点Q坐标为:618,55⎛⎫⎪⎝⎭或(3,1)-或(3,1)-或155,88⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】本题属于一次函数综合题,考查了平行四边形的判定和性质,菱形的判定和性质,一次函数的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.10.(1)10-t;(2)5秒;(3)见解析【分析】(1)先证明△APO≌△CQO,可得出AP=CQ=t,则BQ即可用t表示;(2)由题意知AP∥BQ,根据AP=BQ,列出方程即可得解;(3)过点O作直线EF⊥AP,垂足为E,与BC交于F,利用三角形面积公式求出EF,得到OE,利用勾股定理求出AE,再说明AP=2AE即可.【详解】解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠PAO=∠QCO,∵∠AOP=∠COQ,∴△APO≌△CQO(ASA),∴AP=CQ=t,∵BC=10,∴BQ=10-t;(2)∵AP∥BQ,当AP=BQ时,四边形ABQP是平行四边形,即t=10-t,解得:t=5,∴当t为5秒时,四边形ABQP是平行四边形;(3)过点O作直线EF⊥AP,垂足为E,与BC交于F,在Rt△ABC中,∵AB=6,BC=10,∴AC=22=8BC AB-,∴AO=CO=12AC=4,∵S△ABC=12AB AC⋅=12BC EF⋅,∴AB•AC=BC•EF,∴6×8=10×EF,∴EF=245,∴OE=125,∴AE=22AO OE-=165,当325t=时,AP=325,∴2AE=AP,即点E是AP中点,∴点O在线段AP的垂直平分线上.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理,垂直平分线的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数解决问题.。

相关主题