GF EDCBA M 证明题1.如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD⊥BC，垂足是D ，AE 平分∠BAD，交BC 于点E ．在△ABC 外有一点F ，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF ；（2）在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ． 求证：①ME⊥BC；②DE=DN．2.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ，CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF ＝∠CBG 。

求证：（1）AF ＝CG ； （2）CF ＝2DE3.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，AE=CF ，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于O 点，且BE=BF ，∠BEF=2∠BAC。

（1）求证：OE=OF ；（2）若BC=23，求AB 的长。

4.已知，如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=CD ，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG ，∠1=∠2．（1）若CF=2，AE=3，求BE 的长；（2）求证：∠CEG=∠AGE ．5.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF。

（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=23，求AB，BD的长。

（2）如图1，求证：HF=EF。

（3）如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形若是，请证明；若不是，请说明理由。

6.如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE．（1）若AF是△ABE的中线，且AF＝5，AE＝6，连结DF，求DF的长；（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G．①如图2，若点E是AC边的中点，连结EG，求证：AG＋EG＝BE；②如图3，若点E是AC边上的动点，连结DF．当点E在AC边上(不含端点)运动时，∠DFG的大小是否改变，如果不变，请求出∠DFG的度数；如果要变，请说明理由．7.在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC （或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF扔与线段AC相交于点F.求证：1CF2BE AB+=；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：3()BE CF BE CF+=-.8.已知在四边形ABCD中，180ABC ADC∠+∠=︒，AB=BC.ABFD CE25BAFD CEG25AFD CEG25图1 图2 图3（1）如图1，若90BAD ∠=︒，AD =2，求CD 的长度；（2） 如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ =AP +CQ ，求证：1902PBQ ADC ∠=︒-∠； （3）如图3，若点Q 运动到DC 的延长线上，点P 也运动到DA 的延长线上时，仍然满足PQ =AP +CQ ，则（2）中的结论是否成立若成立，请给出证明过程，若不成立，请写出PBQ ∠与ADC ∠的数量关系，并给出证明过程.9.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，E 是对角线AC 上任意一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF =AE ，连接BE 、EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点，且AB =2时，求△ABC 的面积； （2）如图2，当点E 不是线段AC 的中点时，求证：BE =EF ；（3）如图3，当点E 是线段AC 延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．10.如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，若点E 在AB 的延长线上，EF∥AD，EF=BE ，点P 是DE 的中点，连接FP 并延长交AD 于点G ．（1）过D 作DH ⊥AB,垂足为H ，若DH=23，BE=14AB,求DG 的长； （2）连接CP ，求证：CP ⊥FP ；（3）如图2，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，若点E 在CB 的延长线上运动，点F 在AB 的延长线上运动，且BE=BF ，连接DE,点P 为DE 的中点，连接FP 、CP ，那么第（2）问的结论成立吗若成立，求出PFCP的值；若不成立，请说明理由．11.如图1，ABC ∆中，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，连接DE . （1）若AB BC =，1DE =，3BE =，求ABC ∆的周长；图1DABCAD BCPQ 图ADBC PQ图3E AB C DH P F G 第25题图1 A BD PF第25题图EG’AEOCB（2）如图2，若AB BC =，AD BD =，ADB ∠的角平分线DF 交BE 于点F ，求证：2BF DE =；（3）如图3，若AB BC ≠，AD BD =，将ADC ∆沿着AC 翻折得到AGC ∆，连接DG 、EG ，请猜想线段AE 、BE 、DG 之间的数量关系，并证明你的结论。

12.如图，在等腰Rt △ABC 中，O 为斜边AC 的中点，连接BO ，以AB 为斜边向三角形内部作Rt △ABE, 且∠AEB=90°，连接EO.求证：（1）∠OAE=∠OBE; （2）AE=BE+2OE.13.张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点P 为边BC 上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．MHG BFED CA求证：PD+PE=CF．小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=213dm，AD=3dm，BD=37dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM 与△CEN的周长之和．14.15.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H，延长线段AE、GH交于点M.（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM.16.某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）如图1所示，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ， 求证：①AF ＝AG ＝21AB ；②MD ＝ME ； （2）在任意△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，试判断△MDE 的形状（直接写答案，不需要写过程）（3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，则MD 与ME 有怎样的数量关系17.AEOCB18.19.如图，在等腰Rt △ABC 中，O 为斜边AC 的中点，连接BO ，以AB 为斜边向三角形内部作Rt △ABE, 且∠AEB=90°，连接EO.求证：（1）∠OAE=∠OBE;（2）AE=BE+2OE.2o.如图，已知，∠BAC＝90º，AB ＝AC ，B D 是∠ABC 的平分线，且CE⊥BD 交BD 延长线于点E 。

（1），若AD ＝1，求DC ； （2）求证：BD ＝2CE21.如图所示，△ABC 中，ABAC ,∠BAC =90°, AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，△CDE 沿直线BC 翻折到△CDF ，连结AF 交BE 、DE 、DC 分别于点G 、H 、I .（1）求证：AF ⊥BE ； （2）求证：3ADDI .22.已知平行四边形ABCD 中，G 为BC 中点，点E 在AD 边上，且21∠=∠． (1)求证：E 是AD 中点；(2)若F 为CD 延长线上一点，连接BF ，且满足23∠=∠，求证：CD=BF+DF ．23.24.如图1，ABC ∆中，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，连接DE .（1）若AB BC =，1DE =，3BE =，求ABC ∆的周长；（2）如图2，若AB BC =，AD BD =，ADB ∠的角平分线DF 交BE 于点F ，求证：2BF DE =；I HG FEDBCA（3）如图3，若AB BC ≠，AD BD =，将ADC ∆沿着AC 翻折得到AGC ∆，连接DG 、EG ，请猜想线段AE 、BE 、DG 之间的数量关系，并证明你的结论。

25.我们知道平行四边形有很多性质。

现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折。

会发现这其中还有更多的结论，如图，已知平行四边形ABCD 中，∠B＝30º，AB BC ≠，将△ABC 沿AC 翻折至AB C '∆，连接B D '。

【发现与证明】：如图1：求证：①△AGC 是等腰三角形； ②B D AC '∥（只选一个证明哟，4分）【应用与解答】：如图2：如果AB ＝23，BC ＝1，AB '与CD 相交于点E ，求△AEC 的面积 【拓展与探索】如果AB ＝23，当BC 的长为多少时，△AB′D 是直角三角形（4分）26.在菱形ABCD 和正三角形BGF 中，∠ABC=60°，P 是DF 的中点，连接PG 、PC ． （1）如图1，当点G 在BC 边上时，若AB=10，BF=4，求PG 的长；（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段PC 、PG 有怎样的数量关系，写出你的猜想；并给予证明. （3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，(2)问中关系还成立吗写出你的猜想，并给予证明.C C在菱形ABCD 中，A ∠=60°，以D 为顶点作等边三角形DEF ，连接EC ，点N P 、分别为EC 、BC 的中点，连接NP .（1）如图1，若点E 在DP 上，EF 与CD 交于点M ，连接MN ，3=CE ,求MN 的长；（2）如图2，若M 为EF 中点，求证：MN PN =；（3）如图3，若四边形ABCD 为平行四边形,且A DBC ∠=∠≠60°,以D 为顶点作三角形DEF ，满足DE DF =且EDF ABD ∠=∠,M N P 、、仍分别为EF 、EC 、BC 的中点，请探究ABD ∠与MNP ∠的和是否为一个定值，并证明你的结论.27.28.如图1，正方菜ABCD 中，AC 是对角线，等腰Rt ΔCMN 中，∠CMN=900，CM=MN ，点M 在CD 边上；连接AN ，点E是AN 的中点，连接BE 。