（2）在边界上给定位移——位移边界条件
（3）在边界上部分给定面力，部分给定位移——混合边界条件
基本解法
弹性力学边值问题——基本方程+边界条件
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、 外力等)，求解物体内由此产生的应力场和位移场。
具体地说，对物体内每一点，当它处在弹性阶段，其应力分 量、应变分量、位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几 何力程、本构方程这15个泛定方程，在边界上并要满足给定的 全部边界条件。
通过与原问题基本方程及边界条件等效的变分原理，建立求 解的代数方程组，求解有限个节点上的场变量值
用有限个节点场变量值插值得到全求解域任意位置的场变量
单元内近似函程形式必须一样 单元内近似函数一般取Lagrange多项式
单元位移函数
对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数
x
x
xy
y
xz
z
Fbx
0
yx
x
y
y
yz
z
Fby
0
zx
x
zy
y
z
z
Fbz
0
平衡方程的意义
受力而平衡的弹性体内 各应力之间（及其与体 力之间）的相互制约关 系
几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
xy
v z
w y
xy
w x
u z
应变与位移之间的关系， 以及应变之间的关系
物理方程
也叫本构方程
应力应变之间的关系
x
E(1 ) (1 )(1 2)
( x
1
y
1
z)
y
E(1 ) (1 )(1 2)
( 1
y
y
1
z)
z
E(1 ) (1 )(1 2)
( 1
x
1
y
z)
xy
E 2(1
)
xy
yz
E 2(1
)
yz
xz
E 2(1
)
xz
基本方程
总括起来，当物体处于弹性状态时
u 1 2 x 3 y v 4 5x 6 y
u
1 2A
(ai
第三类边值问题：在物体表面上一部分给定面力，其余部分给 定位移(或在部分表面上给定外力和位移关系)的条件下求解上述 问题，即所谓混合边值问题。
基本解法
在求解以上边值问题时，有三种不同的处理办法，即
(1)位移法，用位移作为基本未知置来求解边值问题，叫位移法。 此时将一切未知量和基本方程都转换为用位移表示。通常给定位 移边界条件(第二类边值问题)时，宜用位移法。
有解；解是唯一的；解是稳定的
基本解法
根据具体问题边界条件类型的不同，常把边值问题 分为以下三类：
第一类边值问题：给定物体的体力和面力，求在平衡状态下的 应力场和位移场，即所谓边界应力已知的问题。
第二类边值问题；给定物体的体力和物体表面各点的位移，求 在平衡状态下的应力场和物体内部的位移场．即所谓边界位移 已知的问题。
有限元法也叫有限单元法（ finite element method ）， 是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种的数值求 解方法。
有限元法
数值求解的基本未知量是节点上的场变量
复杂 的求 解域
无限个质点组成的连续体，具有 无限个自由度
有限个单元组成的集合体，这些 单元只在有限个节 点上相铰接， 只具有有限个自由度。
(2)应力法，用应力作为基本未知量来求解边值问题，叫应力法。 此时将一切未知量和基本方程都转换为用应力表示。显然当给定 应力边界条件(第一类边值问题)时，宜用应力法。
(3)混合法，对第三类边值问题，则宜用以各点的一部分位移分量 和一部分应力分量作为基本未知量，混合求解。
问题：
弹性理论要求在物体的每个边界点上都给定边界条件。实际 工程问题却往往只知道总的载荷量，只能提出等效的近似边界条 件，给不出详细的载荷分布规律。另外，解题时往往难于满足逐 点给定的精确边界条件，因而也希望能找到一种边界条件的简化 方案。
圣维南原理
如作用在弹性体表面某一不大的局部面积上的 力系，为作用在同—局部面积上的另一静力等效力 系所代替，则荷载的这种重新分布只在离荷载作用 处很近的地方才使应力的分布发生显著的变化，在 离荷载较远处只有较小的影响。
当三维实心体受局部自平衡力系作用时，影响 区的尺寸和自平衡力系作用区的尺寸等量级。
第二部分 有限元法理论基础
1. 位移函数 2. 能量法 3. 虚功原理 4. 变分原理
有限元法的基础是变分法 与分片插值多项式
有限元法
通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们 能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无 需把模拟对象真的做出来。这项技术带来的好处就是，在 图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产 品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来 在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的 成本，缩短产品设计的周期。
弹性力学边值问题 及 有限元法基础
第一部分 弹性力学的边值问题
1. 基本方程 2. 边界条件 3. 基本解法
平衡方程
Ma 0
Fx 0 Fy o
xy yx
剪应力互等定理
x
x
yx
y
Fbx
0
y
y
xy
x
Fby
0
平衡方程
对于三维问题
xy yx yz zy xz zx
离散化——由无限个质点的连续体转化为 有限个单元的集合体。
在数学意义上说，就是把微分方程的连续形式转化为代数方程组，以便 于进行数值解。
有限元法要点
将一个连续的求解域离散为若干个相互连接的子域（单元、 节点）
在单元内建立场函数的近似函数，用满足一定条件的近似函 数分片地表示全求解域待求的未知场函数
3个平衡方程
6个几何方程
共15个 (统称为泛定方程)
6个本构方程
6个应力分量
6个应变分量
共15个未知函数
3个位移分量
因而在给定边界条件时，问题是可以求解的。
边界条件
当物体处于平衡状态时，其内部各点的应力状态应满足平衡 微分方程，在边界上应满足边界条件。 边界条件可能有三种情况
（1）在边界上给定面力——应力边界条件
圣维南（Adbemar Jean Claude Barre de Saint Venant）1797年出生于 法国，1886年逝世。1825年毕业于巴黎桥梁公路学校，后从事工程设计工作， 1837年回该校任教，1868年当选为法国科学院院士。在弹性力学塑性力学、 流体力学方面作出了贡献。他的力的作用的局部性思想被称为：“圣维南原理”