g y ( x)



f ( x, y )dy
在二维傅立叶变换中，令v=0，则有：
Gy (u) F (u,0) f ( x, y) exp( j 2ux)dxdy


现在假设将函数投影到一条旋转角度为θ的直线上，如图示：
7.2 傅立叶变换重建
图 7—2 投影几何关系

f ( x, y)


F (u, v)e j 2 (ux vy ) dudv
作代换：u R cos ， v R sin
7.3 卷积重建法
(续)写成級坐标(R,θ)形式：
2
f ( x, y)

0

0 0
F ( R, )e j 2 ( x cos y sin ) RdRd
对指数进行变换，令： u r cos ,
v r sin
7.2 傅立叶变换重建


因而,若点（u，v）在一条θ角一定而距原点距离为r的 直线上，投影变换将与二维变换中的一直线有相同的傅 氏变换，即 :F(u,v)=G(r,θ)。 因为投影变换G(r,θ)中的所有r和θ都是已知的，为了 得到图像函数，我们进行反傅立叶变换，即：
7.2 傅立叶变换重建


三维图像不能在得到部分投影数据过程中局部地重 建，而必须延迟到所有投影数据都获得之后才能重 建。 （补充）傅立叶变换重建法是一种变换重建方法， 变换重建方法主要包括以下三个步骤： 1、建立数学模型，其中已知量和未知量都是连 续实数的函数； 2、利用反变换公式解未知量； 3、调节反变换公式以适应离散、有噪声应用的 需求。
（7.1）
利用傅立叶共轭对称性，有：
f ( x, y)

F ( R, )e j 2 ( x cos y sin ) | R | dRd
（7.2）
（7.3） （7.4）
令： f ( x, y; )


j 2 ( x cos y sin ) e | R | F ( R, )dR
f ( x, y)
1 2d
采用标记：
0 1 2d

| R | F ( R, )e j 2 R ( x cos y sin ) dRd
1/2 d
h( )
1/2 d

| R | e j 2 R dR
（7.5）
根据前式(7.3)，结合傅立叶投影定理可知：
7.3 卷积重建法

则（7.2）可表示为： f ( x, y) f ( x, y; )d
0
7.3 卷积重建法
(续)在式(7.2)中，当用FFT计算投影数据的傅立叶变换 F(R，θ)时，投影数据g(ρ，θ)总被有限截断。当ρ的采 样间隔为d时，在变换域R的变化范围为-1/2d到1/2d， 于是投影反变换重建公式可以近似写成：
1
这里,积分路径是沿着直线s1=xcosθ+ysinθ进行。此投影的一维 付氏变换为: G(r , ) g (s1 , ) exp( j 2rs1 )ds1

展开后为： G(r , )



f ( x, y) exp[ j 2r ( x cos y sin )]dxdy

补充（一）：投影重建概述
如上图，在合成孔径雷达成像中，雷达是运动的而目 标不动。 设 v——雷达沿y轴的运动速度； t——有效积累时间； λ——电波波长。 两个目标沿雷达运动方向分布，目标A位于雷达孔径中心 线上（x轴），目标B与目标A的位移量为d。雷达与目 标A的最近距离为R，此时定义为时间零点，t=0。设 在t=0前后距离的变化量为δR。 当R>> δR时 δR=(x-d)2/2R。
1/2 d



g ( , )
1/2 d

| R |e j 2 R ( x cos y sin ) dRd

g ( , )h( x cos y sin )d
7.3 卷积重建法


由上式可以得出，要实现对已经得到的投影数据实现 图像重建，则可以采取两步：首先将投影数据 g ( , ) 和响应脉冲滤波器(7.5)进行卷积，然后由式(7.4)对不 同旋转角θ求和，就能实现图像重建。这就是卷积法进 行图像重建的基本思路和方法。 卷积可看作一种滤波手段，卷积投影相当于对数据先 滤波再将结果逆投影回来，这样可以使模糊得到校正。Βιβλιοθήκη 7.2 傅立叶变换重建
（补充）傅立叶变换投影定理： 设G(R ,θ)是g（s,θ）对应第一变量s的一维傅立叶 变换，即： G ( R, ) g (s, ) exp( j 2 Rs)ds
( s , )
F（X，Y）是f（x，y）的二维傅立叶变换：
F ( X , Y ) f ( x, y ) exp[ j 2 ( xX yY )]dxdy
F (u, v)

f ( x, y) exp[ j 2 (ux vy)]dxdy
7.2 傅立叶变换重建
图x轴像在上的投影： 投影的一维傅立叶变换：
G (u) g y ( x) exp(2 jux)dx f ( x, y) exp(2 jux)dxdy y
f ( x, y) F (u, v) exp[j 2 (ux vy)]dudv


这就是图像的二维重建技术，同理可推广到三维情形 （见课本p350页推导过程）。 但是，若只有有限个投影是有效的，则可能需要在变换 中插入一些数据。另外需要注意的是，虽然只须一维傅 里叶变换的投影数据就可构成变换空间，但图像重建则 需要二维反变换。由此得出结论，即：
7.1 概述
表一
模型名称
图像重建三种模式的对比表
适用范围 应用实例 光、X射线
建立于能量通过物体后一部分能量会 透射模型 被吸收的基础上，遵循一定的吸收 法则。 通过在相反的方向分解散射的两束γ 发射模型 射线来实现的，通过两束射线的度 越时间来确定物体位置 反射模型 通过能量反射来测定物体的表面特征
7.2 傅立叶变换重建
t x sin y cos 定义旋转坐标： s x cos y sin , 而将函数投影的直线选为 x 轴。投影点通过对距离 t 轴为 S1处的一平行线进行函数积分，因此，该投影可如下表示： g ( s1 , ) f ( x, y )ds s
（续）
f ( x, y; )
1/2 d
1/2 d
1/2 d

| R | F ( R, )e j 2 R ( x cos y sin ) dR

1/2 d

| R | [ g ( , )e j 2 R ]e j 2 R ( x cos y sin ) dR
核磁共振
光电子、雷达、超声 波
7.1 概述
图 6—1 图像重建的透射、反射、发射三种模式示意图
补充（一）：投影重建概述




概念：投影重建一般指利用物体的多个（轴向）投影 图像重建目标图像的过程。它是一类特殊的图像处理 方法，它输入的是（一序列）投影图，而输出的是重 建图。 通过投影重建就可以直接看到原来被投影物体某种特 性的空间分布，比直接观察投影图要直观的多。 应用实例： 1、投射断层成像（transmission computed tomography，TCT，简称CT） 原理：从发射源射出的射线穿透物体到达接受器。
补充（一）：投影重建概述
实例：PET ( positron emission tomography)、SPET (single positron emission CT)。 3、反射断层成像（reflection CT，RCT） 原理：利用能量的反射来 测定物体的表面特性。 实例：雷达系统，雷达发 射器从空中向地面发射无线 电波。雷达接收器在特定的 角度所接受到的回波强度是 地面反射量在一个扫描阶段 的积分。
7.4 代数重建方法


列举一个简单实例（《数字图像处理与分析》P155） (补充)代数重建技术就是事先对未知图像的各像素给予 一个初始估值，然后利用这些假设数据去计算各射线穿 过对象时可能得到的投影值（射影和），再用它们和实 测投影值进行比较，根据差异获得一个修正值，利用这 些修正值，修正各对应射线穿过的诸像素值。如此反复 迭代，直到计算值和实测值接近到要求的精确度为止。 具体实施步骤： （l）对于未知图像各像素均给予一个假定的初始值，从 而得到一组初始计算图像；
Q

那么有如下投影定理： G( R, ) F ( R cos , R sin ) 即f（x，y）以θ角进行投影的傅立叶变换等于f（x， y）的傅立叶变换在傅立叶空间（R,θ）处的值。
7.3 卷积重建法



（补充）逆投影原理：从各个方向得到的投影逆向 返回到该方向的各个位置，如果对多个投影方向中 的每个方向都进行这样的逆投影，就有可能建立平 面上的一个分部。典型的方法是卷积逆投影重建。 卷积重建法是一种变换重建法，可以根据傅立叶变 换投影定理推出。 按照二维傅立叶反变换标准定义，有
T /2
E (d )
T /2

exp[
j 4 (vt d )2 ]dt 2R
7.2 傅立叶变换重建




它是一个最简单的重建方法，一个三维（或二维）物 体，它的二维（或一维）投影的傅立叶变换恰好与此 物体的傅立叶变换的主题部分相等，傅立叶变换的重 建方法正是以此为基础的。 方法：通过对投影进行旋转和部分傅立叶变换可以首 先构造整个傅立叶变换的平面，然后再通过傅立叶反 变换就可以得到重建后的物体。 傅立叶变换重建原理： f（x,y）为一图像，则它的二维函数的傅立叶变换：