2020年中考数学压轴题精讲：几何证明及几何计算例题1：如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．
（1）若
1
3
AD
DB
=，AE＝2，求EC的长；
（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．
图1
满分解答
（1）由∠ACB＝90°，DE⊥AC，得DE//BC．
所以
1
3
AE AD
EC DB
==．所以
21
3
EC
=．解得EC＝6．
（2）△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况：
①如图2，当∠1＝∠2时，由于∠2与∠3互余，所以∠2与∠3也互余．
因此∠CPF＝90°．所以CP是△CFG的高．
②如图3，当∠1＝∠3时，PF＝PC．
又因为∠1与∠4互余，∠3与∠2互余，所以∠4＝∠2．所以PC＝PG．
所以PF＝PC＝PG．所以CP是△CFG的中线．
综合①、②，当CD是∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的高，也是中线（如图4）．
图2 图3 图4
例题2：如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB 交AF于M，作PN//CD交DE于N．
（1）①∠MPN＝_______°；
②求证：PM＋PN＝3a；
（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON．求证：OM＝ON．
（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．
图1 图2 图3
满分解答
（1）①∠MPN＝60°．
②如图4，延长F A、ED交直线B C与M′、N′，那么△ABM′、△MPM′、△DCN′、
△EPN′都是等边三角形．
所以PM＋PN＝M′N′＝M′B＋BC＋CN′＝3a．
图4 图5 图6
（2）如图5，联结OP．
由（1）知，AM＝BP，DN＝CP．
由AM＝BP，∠OAM＝∠OBP＝60°，OA＝OB，
得△AOM≌△BOP．所以OM＝OP．
同理△COP≌△DON，得ON＝OP．
所以OM＝ON．
（3）四边形OMGN是菱形．说理如下：
由（2）知，∠AOM＝∠BOP，∠DON＝∠COP（如图5）．
所以∠AOM＋∠DON＝∠BOP＋∠COP＝60°．所以∠MON＝120°．
如图6，当OG平分∠MON时，∠MOG＝∠NOG＝60°．
又因为∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，于是可得∠AOM＝∠FOG＝∠EON．
于是可得△AOM≌△FOG≌△EON．
所以OM＝OG＝ON．
所以△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形．
所以四边形OMGN的四条边都相等，四边形OMGN是菱形．
例题3：已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．
①求正方形的ABCD的面积；
②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA ．
满分解答
（1）将点P (0, 1)、Q (2, －3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得
1,421 3.c b =⎧⎨-++=-⎩ 解得0,
1.b c =⎧⎨
=⎩
所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1． （2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ． 此时y A ＝2x A ．
解方程－x 2＋1＝2x ，得12x =-±． 所以点A 的横坐标为21-．
因此正方形ABCD 的面积等于2[2(21)]1282-=-．
②设OP 与AB 交于点F ，那么212(21)322(21)PF OP OF =-=--=-=-．
所以2
(21)tan 2121
PF PAE AF -∠===--．
又因为tan tan 21OD
PDA DPO OP
∠=∠==-，
所以∠P AE ＝∠PDA ．
又因为∠P 公用，所以△P AD ∽△PEA ．
图1 图2。