证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO 都是等腰直角三角形,并且 △ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
A
D
O
B
C
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当堂练习
练一练
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( B ) A.四个角相等
证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴菱形ABCD是正方形.
A
B
O
D
C
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阶段归纳
正方形判定的常用方法：
易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相 等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
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讲授新课
正方形的判定 思考 把一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得
到是一个正方形，为什么？
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
4.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （ A ）
A.2cm2 B.4cm2
C.6cm2
D.8cm2
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例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求 ∠EAD和∠EDA的度数 . 解：∵ △BEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC,∠ABC=90°， ∴AB=BE, ∠ABE= ∠ABC-∠EBC=30°，
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在你的周围 你能找到正 方形吗？
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讲授新课
正方形的性质 观察与思考
思考1：矩形具有怎样的条件才能是正方形呢?
〃
正方矩形 形
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讲授新课
正方形的性质 观察与思考
思考2 菱形具有怎样的条件才能是正方形呢?
正方形
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归纳总结
正矩方形形
邻边相等
一个角是直角 菱形
正方形
∟
正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
正方形既是菱形，又是矩形 .
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思考 正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 提示：同学们可以拿一张正方形纸片,折一折来验证.
A
D
B
C
对称性： 轴对称图形.
对称轴：
4条 .
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阶段总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系如何表述呢？ 平行四边形
正
矩形 方 菱形
形
正方形既是特殊的平行四边形,又是特殊的矩形,也是特殊的菱形. 你能说出正方形具有哪些性质吗？ 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
性质：1.角的方面：四个角都是直角
2.边的方面：对边平行，四条边都相等
3.对角线方面：对角线互相垂直平分且相等，平分每组对角
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典例精析 例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O. 求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
+
一个角是直角 或对角线相等
先判定菱形
矩形条件(二选一)
先判定矩形
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+
一组邻边相等， 或对角线垂直
菱形条件(二选一)
正方形
正方形
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阶段归纳
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定总结
矩形
5种判定方法 四边形
平行四边形
一个角是直角且一组邻边相等
A
B
O
D
C
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思考 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，这时 菱形框架的形状是正方形，为什么？
正方形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
一个角是直角 或对角线相等
正方 形
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17证一证Fra bibliotek对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图,在菱形ABCD中,两条对角线AC , DB交于点O, AC=DB. 求证：菱形ABCD是正方形.
∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
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当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
A
D
75°
E
30°
60°
B
C
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= 75°，
∴∠EAD= 90°-75°=15°.
同理可得∠EDA=15°
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【变式题】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE， 求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①， AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
矩形
一组邻边相等 正方
或对角线互相垂直 形
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证一证
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC , DB交于点O,且AC⊥DB. 求证：矩形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ∵AC⊥DB ∴AB=BC ∴矩形ABCD是正方形.
第18章 平行四边形
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学习目标
1.理解正方形的概念. 2.掌握正方形的性质和判定，并能运用它们进行证明和计算. 3.理解正方形、菱形、矩形、平行四边形之间的关系. 4.培养学生主动探究的习惯和合作交流的意识，提高学生的逻辑思维能力.
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导入新课
情景引入 正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在，下面图片中是否包 含正方形，如果有请找出来。
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ）
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
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当堂练习
练一练
3.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ A ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等