北京市三十一中学2012–2013学年度第一学期 初三年级数学期中试题 2012.11(时间120分钟,满分120分)一、 精心选一选(每题4分,共32分)1.下列图形中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是( )2. 若两圆的半径分别是2cm 和3cm ,圆心距为5cm ,则这两圆的位置关系是( )A . 内切B .相交C .外切D .外离 3.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶3 4.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆,则圆锥的高为( )A.aB.33 a C.3a D.23a5.如图,□ABCD 中,EF ∥AB ,DE ∶EA = 2∶3,EF = 4,则CD 的长为( )A .163B .8C .10D .166.如图,在4×4的正方形网格中,△MNP 绕某点旋转一定的角度,得到△M 1N 1P 1.则其旋转中心一定是点 ( )A .A 点B .B 点C .C 点D .D 点7.如图所示,实线部分是半径为9的两条等弧组成的游泳池,若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心,则游泳池的周长为( )A .12πmB .18πmC .20πmD .24πm8.如图,点A 在半径为3的⊙O 内,OA=3,P 为⊙O 上一点,当∠OPA 取最大值时,PA的长等于 A .23B .6C .23D .32A第5题第6题 第7题 第8题 班级 姓名 学号______________OP二、填空题(共4道小题,每小题4分,共16分)9.如图,已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点.若△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是___________. 10. 如图,PA ,PB 是⊙O 是切线,A ,B 为切点, AC 是⊙O的直径,若∠BAC=25°,则∠P= _度.11.如图,正方形ABCD 的边长为2,AE=EB ,MN=1,线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动,当CM= 时,ΔAED 与N ,M ,C 为顶点的三角形相似. 12. 如图,n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设△211B D C 的面积为1S ,△322B D C 的面积为2S ,…,△1n n n B D C +的面积为n S ,则2S = ;n S =____ (用含n 的式子表示).三、解答题(本题共28分) 13.(本题5分)计算:2cos60tan 45sin 45sin30︒-︒+︒︒14.(本题4分)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC 的顶点均在格点上,O 、M 也在格点上.(1)画出△ABC 关于直线OM 对称的△A 1B 1C 1; (2)画出△ABC 绕点O 按顺时针方向旋转90°后所得的△A 2B 2C 2;(3)△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2组成的图形是轴对称图形吗?如果是轴对称图形,请画出对称轴.第9题x10 9 8 7 6 5 43 2 1 1 2 3456789 10 11 A 1B 1C 1 A BCy POCBA第11题第10题15.(本题5分)如图,在平行四边形ABCD 中,过点A 作AE ⊥BC ,垂足为E ,连接DE ,F 为线段DE 上一点,且∠AFE =∠B. (1) 求证:△ADF ∽△DEC ;(2) 若AB =4,AD =33,AE =3,求ED ,AF 的长.16.(本题5分)如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ,连结EB 交OD 于点F . (1)求证:OD ⊥BE ; (2)若DE =25,AB =25,求AE 的长.17. (本题5分)如图,Rt△ABC 的斜边AB=4,O 是AB 的中点,以O 为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D 、E , (1)求证∠A=∠B.(2)求图中阴影部分的面积.18.(本题4分)已知:如图,∠MAN =45°,B 为AM 上的一个定点, 若点P 在射线AN 上,以P 为圆心,P A 为半径的圆与射线AN 的另一个交点为C ,请确定⊙P 的位置,使BC 恰与⊙P 相切.(1)画出图形(不要求尺规作图,不要求写画法); (2)连结BP 并填空:① ∠ABC = °;② 比较大小:∠ABP ∠CBP . (用“>”、“<”或“=”连接)班级 姓名 学号______________四、解答题(本题共23分) 19.(本题6分)如图:学校旗杆附近有一斜坡.小明准备测量学校旗杆AB 的高度,他发现当斜坡正对着太阳时,旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上,此时小明测得水平地面上的影长BC =20米,斜坡坡面上的影长CD =8米,太阳光线AD 与水平地面成30°角,斜坡CD 与水平地面BC 成30°的角,求旗杆AB 的高度(结果保留根号).20.(本题6分)已知:如图,等腰△ABC 中,AB= BC ,AE ⊥BC 于E , EF ⊥AB 于F ,4cos 5AEF ∠=,(1)当BE=4时,求EF长. (2)若CE=2求EF 的长.21.(本题6分)已知:如图,在△ABC 中,点D 在AC 上,点E 在CB 的延长线上,且AD=BE ,求证:BCACFD EF =.22. (本题5分)阅读下列材料:问题:如图1,在正方形ABCD 内有一点P ,P A =5,PB =2,PC =1,求∠BPC 的度数.小明同学的想法是:已知条件比较分散,可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起,于是他将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°,得到了△BP ′A (如图2),然后连结PP ′.ACD请你参考小明同学的思路,解决下列问题: (1) 图2中∠BPC 的度数为 ;(2) 如图3,若在正六边形ABCDEF 内有一点P ,且P A =132,PB =4,PC =2,则∠BPC 的度数为 ,正六边形ABCDEF 的边长为 .图1 图2 图3五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)23.如图,△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合.将△DEF 绕点E 旋转,旋转过程中,线段DE 与线段AB 相交于点P ,线段EF 与射线CA 相交于点Q .(1)如图①,当点Q 在线段AC 上,且AP=AQ 时,求证:△BPE ≌△CQE ; (2)如图②,当点Q 在线段CA 的延长线上时,求证:△BPE ∽△CEQ ;并求当BP=a ,CQ=92a 时,P 、Q 两点间的距离 (用含a 的代数式表示).班级 姓名 学号______________24.如图,C 是以AB 为直径的⊙O 上一点,过O 作OE ⊥AC 于点E ,过点A 作⊙O 的切线交OE 的延长线于点F ,连接CF 并延长交BA 的延长线于点P . (1)求证:PC 是⊙O 的切线.(2)若AF=1,OA=22,求PC 的长.25.已知:AOB △中,2AB OB ==,COD △中,3CD OC ==,ABO DCO =∠∠. 连接AD 、BC ,点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.图1 图2(1) 如图1,若A 、O 、C 三点在同一直线上,且60ABO =o∠,则PMN △的形状是__________,此时ADBC=________; (2) 如图2,若A 、O 、C 三点在同一直线上,且2ABO α=∠,证明PMN BAO △∽△,并计算AD BC的值(用含α的式子表示);(3) 在图2中,固定AOB △,将COD △绕点O 旋转,直接写出PM 的最大值.北京市三十一中学2012–2013学年度第一学期初三年级数学期中答案一、选择题1——4 ACAD 5——8 CBDB 9、(9,0) 10 、50 11、()552,55 12、13,332+n n 13.解:2cos60tan 45sin 45sin30︒-︒+︒︒.212112=-+- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4分1.2=- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分 14.(1)——————1` (2)——————2` (3)——————4`15.(1)——————2` (3)求出ED=6 ——————3`,求出AF=32————5` 16.(1)连结AD 证出OD ⊥BE-----2分 (2)证出△CED ∽△EBA--------3分 求出CE=1-------4分 求出AE=1.5--------5分 17、(1)连结OD 、OE------------1分证出∠A=∠B------------2分 (2)求出扇形半径------------3分S 阴=2-2π------------6分18.解:(1)图形见右. - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分(2)① ∠ABC = 45 °;- - - - - - -3分② ∠ABP < ∠CBP . - - - - - - 4分 19、画出求法示意图------------1分求出CE=34------------2分图(1)图(2)求出BF=20+38(或DF=20+34)-----------4分求出AB=83320+-----------6分20.解:(1)求出BE=2.4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分∵ AE ⊥BC , EF ⊥AB ,∴ ∠1+∠2=90°,∠B+∠2=90°. ∴ ∠1=∠B . ∵ 4cos 5AEF ∠=, ∴ Rt △ABE 中,4cos 5BE B AB ==. 设BE =4k ,则AB=BC=5k ,2EC BC BE k =-==. ∴ BE =8. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4分∴ Rt △BEF 中,324sin 855EF BE B =⋅=⨯=.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6分21.辅助线 ;………………………………………………………………………… 1分 转化一组比;………………………………………………………………………… 2分 转化二组比 ;………………………………………………………………………… 3分 等量代换 ;………………………………………………………………………… 4分 答案 ;………………………………………………………………………… 5分22.解:(1)135°;………………………………………………………………………… 2分(2)120°;………………………………………………………………………… 3分. ……………………………………………………………………… 5分23:(1)证明:∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴∠B=∠C=45°,AB=AC , ∵AP=AQ , ∴BP=CQ ,∵E 是BC 的中点, ∴BE=CE ,在△BPE 和△CQE 中,21FC BA∵,∴△BPE ≌△CQE (SAS );……………………………………………… 2分 (2)解:∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形, ∴∠B=∠C=∠DEF=45°, ∵∠BEQ=∠EQC+∠C ,即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C , ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°, ∴∠BEP=∠EQC ,∴△BPE ∽△CEQ ,……………………………………………… 4分 ∴,∵BP=a ,CQ=a ,BE=CE , ∴BE=CE=a ,∴BC=3a ,∴AB=AC=BC •sin45°=3a ,∴AQ=CQ ﹣AC=a ,PA=AB ﹣BP=2a , 连接PQ ,在Rt △APQ 中,PQ==a .……………………………………………… 7分24、连结OC-----------------------1分证出切线-----------------------3分求出BC=316----------------------5 求出PC=716----------------------725. 解:(1)等边三角形,1;(每空1分) --------------------2分 (2)证明:连接BM 、CN . 由题意,得BM OA ⊥,CN OD ⊥,α-︒=∠=∠90COD AOB .∵ A 、O 、C 三点在同一直线上, ∴ B 、O 、D 三点在同一直线上.∴ 90BMC CNB ==o∠∠. ∵ P 为BC 中点,MPNDABOC∴ 在Rt △BMC 中,BC PM 21=. 在Rt △BNC 中,BC PN 21=. ∴ PN PM =.---------------------------3分 ∴ B 、C 、N 、M 四点都在以P 为圆心,12BC 为半径的圆上. ∴ 2MPN MBN =∠∠. 又∵ α=∠=∠ABO MBN 21, ∴ MPN ABO =∠∠.∴ PMN BAO △∽△. ----------------------------------4分∴ BAAO PM MN =. 由题意,12MN AD =,又BC PM 21=. ∴ PMMN BC AD =.------------------------------------5分 ∴ AD AO BC BA=. 在Rt BMA △中,αsin =ABAM . ∵ AM AO 2=,∴ 2sin AO BAα=. ∴ αsin 2=BCAD .------------------------------6分 (3)52.--------------------------------7分。