讲座 三角形内的三角函数问题○知识梳理1.内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.,sin()sin ,sincos 22A B CA B C A B C π++=-+== 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.A>B a>b sinA>sinB ⇔⇔，60⇔o A,B,C 成等差数列B=2.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 222a b cii A B C R R R===； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. 3.余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状. 4.面积公式：222111222111sin sin sin 222sin sin sin sin sin sin 1112sin 2sin 2sin 1()2==========++=a b cS ah bh ch ab C bc A ca B B C C A A B a b a A B C r a b c （其中r 为三角形内切圆半径,2a b cp ++=）.5.射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，b ＝a ·cos C ＋c ·cos A ，c ＝a ·cos B ＋c ·cos A ．特别提醒：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
○浙江真题1．（2010年（18））在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1cos 24C =- (I)求sinC 的值；(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．2．（2011（18））在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =.（Ⅰ）当5,14p b ==时，求,a c 的值；(Ⅱ) 若角B 为锐角，求p 的取值范围。
3．（12年样卷） (18) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan (A ＋B )＝2．(Ⅰ) 求sin C 的值；(Ⅱ) 当a ＝1，c b 的值．○例题分析【例1】 (2011年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理【例2】 (2011年高考湖南卷理科17) （本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且满足C a A c cos sin =.()I 求角C 的大小； ()II 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4cos sin 3πB A 的最大值，并求取得最大值时角B A ，的大小.【例3】已知圆内接四边形ABCD 的边长AB =2，BC =6，CD =DA =4.求四边形ABCD 的面积.【例4】 (2011年高考全国卷理科17) (本小题满分l0分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=2b，求C.【例5】 (2011年高考山东卷理科17)（本小题满分12分）在V ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A-2cosC2c-a=cos B b.（1）求sinsinCA的值；（2）若cosB=14，2b=,求ABC∆的面积.○巩固练习1.(2011年高考辽宁卷理科4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ， asin AsinB+bcos 2A=2a 则ba=（ ） (A) 23 (B) 22 (C)3 (D)22、在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 3. (2011年高考天津卷理科6)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,23,2AB AD AB BD BC BD ===，则sin C 的值为（ ）A ．33 B ．36 C ．63 D ．664.(2011年高考重庆卷理科6)若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则ab 的值为（A ）43 (B) 843- (C)1 (D) 235．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos。
6. (2011年高考全国新课标卷理科16)在ABC ∆中，60,3B AC ==o2AB BC+的最大值为 。
7．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . （Ⅰ）求A CB 2cos 2sin2++的值； （Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值.8．(2011年高考湖北卷理科16)（本小题满分10分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知.11,2,cos 4a b C === (Ⅰ) 求△ABC 的周长； (Ⅱ)求cos(A —C.)9.(2011年高考安徽卷江苏15)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.10．已知在关于x 的方程ax 2－2bx ＋c ＝0中，a 、b 、c 分别是钝角三角形ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边，且b 是最大边．(1)求证：该方程有两个不相等的正根；(2)设方程有两个不相等的正根α、β，若三角形ABC 是等腰三角形，求α－β的取值范围．11．在ABC ∆中，记BAC x ∠=(角的单位是弧度制)，ABC ∆的面积为S ，且83AB AC ⋅=≤≤u u u r u u u r，4S 4．(1)求x 的取值范围；(2)就(1)中x 的取值范围，求函数22()23()2cos 34f x x x π=++-小值．三角形内的三角函数问题○知识梳理1.内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.,sin()sin ,sincos 22A B CA B C A B C π++=-+== 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.A>B a>b sinA>sinB ⇔⇔，60⇔o A,B,C 成等差数列B=2.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 222a b cii A B C R R R===； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.3.余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.4.面积公式：222111222111sin sin sin 222sin sin sin sin sin sin 1112sin 2sin 2sin 1()2==========++=a b cS ah bh ch ab C bc A ca B B C C A A B a b a A B C r a b c （其中r 为三角形内切圆半径,2a b cp ++=）.5.射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，b ＝a ·cos C ＋c ·cos A ，c ＝a ·cos B ＋c ·cos A ．特别提醒：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
○浙江真题1．10年（18）在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1cos 24C =- (I)求sinC 的值；(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。
（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin 2C=14-，及0＜C ＜π所以sinC=4.（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理a csin A sin C=，得c=4由cos2C=2cos 2C-1=14-，J 及0＜C ＜π得cosC=±4由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得b 2b-12=0解得 或所以 b= c=4 或 c=42．11年（18）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =.（Ⅰ）当5,14p b ==时，求,a c 的值；(Ⅱ) 若角B 为锐角，求p 的取值范围。
3．（12年样卷） (18) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan (A ＋B )＝2．(Ⅰ) 求sin C 的值；(Ⅱ) 当a ＝1，c ＝5时，求b 的值．(18) 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
(Ⅰ) 解：由题设得tan C ＝－2，从而sin C ＝255． …………6分 (Ⅱ) 解：由正弦定理及sin C ＝25得sin A ＝25，sin B ＝sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A＝252521()5⋅-+⋅ ＝25(211)-，再由正弦定理b ＝sin sin Bc C⋅＝10555-． …………14分 ○例题分析【例1】 (2011年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理 【解析】：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积。