ABCDF向量与三角函数综合试题1．已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a +2b 与a 的夹角为 （ D ）A.3πB.3π2C. 2πD.6π2．已知向量),(n m a =，)sin ,(cos θθ=b ，其中R n m ∈θ,,.若||4||b a =，则当2λ<⋅b a 恒成立时实数λ的取值范围是（ B ）A ．2>λ或2-<λB ．2>λ或2-<λC ．22<<-λD ．22<<-λ3．已知O 为原点，点P （x ，y ）在单位圆x 2+y 2=1上，点Q （2cos θ，2sin θ），且PQ =(34，－32)，则OP ·OQ 的值是（ A ）A ．1825B ．925C ．2D ．9164．R t b t a u b a ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 00，则|u |的最小值是B A. 2 B.22 C. 1 D. 215．如图，△ABC 中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB 到D ，使||||BA BD =，当E 点在线段AD 上移动时，若,AE AB AC λμλμ=+-则的最大值是（ C ） A ．1 B ．3 C ．3 D ．236．已知向量(2,0)OB =,向量(2,2)OC =,向量(2cos ,2sin )CA αα=,则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ D ） A ．[0,]4πB ．5[,]412ππC ．5[,]122ππD ．5[,]1212ππ7．已知向量(1,1),(1,1),(2cos ,2sin )a b c θθ==-=,实数,m n 满足ma nb c +=,则22(1)(1)m n -+-的最小值为（ D ）A ．21-B ．1C ．2D ．322-8．如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =，若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE 的值是（ B ）B ．） （ ）A ．34-B ．89-C ．14-D ．不确定9．已知,,A B C 三点的坐标分别是(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，3(,)22ππα∈，若1AC BC ⋅=-，则21tan 2sin sin 2ααα++的值为（ B ） A ．59-B ．95- C ．2D ．2-10.在平行四边形ABCD 中，AD=1，∠BAD=60°，E 为CD 的中点．若•=1，则AB 的长为（ C ） A ．B ．C ．D ．1 解：如图：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴，，∴====，∴．∵，∴．∴AB 的长为．11．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则→→-b a 的最大值是 2 ．12．已知||4,||6,,OA OB OC xOA yOB ===+且21x y +=，AOB ∠是钝角，若()||f t OA tOB =-的最小值为23，则||OC 的最小值是 。

13．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y + 的最大值是________.214．已知向量))(sin 2,cos 2(),1,1(),1,1(R c b a ∈=-==ααα，实数,m n 满足,ma nb c +=则22(3)m n -+的最大值为 1615．在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点P 在CD BC 与上运动（包括端点），则DM AP •的取值范围是 ．[12-，1] 16．在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B C 、不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ．125π17.已知O 为锐角△ABC 的外心，AB=6，AC=10，=x+y，且2x+10y=5，则边BC 的长为 4 ．解：分别取AB ，AC 的中点为D ，E ，并连接OD ，OE ，根据条件有：OD ⊥AB ，OE ⊥AC ； 在Rt △OAD 中，cos ∠OAD===；∴=；同理可得，；∴=36x+60ycos ∠BAC ① =60xcos ∠BAC+100y ②又2x+10y=5 ③ ∴由①②③解得cos ∠BAC=； 由余弦定理得：，∴BC=．故答案为：．18.已知向量=（cosA ，﹣sinA ），=（cosB ，sinB ），•=cos2C ，其中A 、B 、C 为△ABC的内角．（Ⅰ）求角C 的大小（Ⅱ）若AB=6，且，求AC 、BC 的长．解：（Ⅰ）∵=（cosA，﹣sinA），=（cosB，sinB），∴•=cos2C，即cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）=﹣cosC=cos2C，…（2分）化简得：2cos2C+cosC﹣1=0，…（4分）故cosC=（cosC=﹣1舍去）∵C∈（0，π），∴C=．…（7分）（Ⅱ）∵，∴•cos=36，即•=36．①…（9分）由余弦定理得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=36，化简得：AC+BC=12 ②…（12分）联解①②，可得AC=BC=6．19．已知向量，向量与向量的夹角为，且．（1）求向量；（2）若向量与共线，向量，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，求的取值范围．解：（1）设．由，得x+y=﹣1①又向量与向量的夹角为得=，即x2+y2=1②由①、②解得或，∴或．…（5分）（2）结合（1）由向量与共线知；由A、B、C依次成等差数列知．…（7分）∴，∴==．…（10分）∵，∴，∴，∴，∴．…（12分）20.已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=•﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=1，a=且b+c=3，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）∵向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），∴函数f（x）=•﹣3=﹣3==．故函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由f（A）=1得，，即=．∵0＜A＜π，∴，∴=，解得A=．由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2abcosA=（b+c）2﹣3bc，∵a=且b+c=3，∴3=32﹣3bc，解得bc=2．∴==．21.已知△ABC的面积为S，且．（1）求tan2A的值；（2）若，，求△ABC的面积S．解：（1）设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．∵，∴，…（2分）∴，∴tanA=2．…（4分）∴．…（5分）（2），即，…（6分）∵tanA=2，∴…（7分），∴，解得．…（9分）∴sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB=．…（11分）由正弦定理知：，可推得…（13分）∴．…（14分）22．设平面向量)23,21(),1,3(=-=b a ,若存在实数)0(≠m m 和角θ,其中)2,2(ππθ-∈，使向量θθtan ,)3(tan 2⋅+-=-+=b a m d b a c ,且d c ⊥.(1).求)(θf m =的关系式;(2).若]3,6[ππθ-∈,求)(θf 的最小值,并求出此时的θ值. 解:(1)∵d c ⊥,且120===⋅b a b a ，∴0)tan 3(tan232=-+-=⋅b a m d c θθ∴)2,2(),tan 3(tan 41)(3ππθθθθ-∈-==f m (2)设θtan =t ,又∵]3,6[ππθ-∈，∴]3,33[-∈t ，则)3(41)(3t t t g m -== )1(43)(''2-==t t g m 令0)('=t g 得1-=t (舍去) 1=t∴)1,33(-∈t 时0)('<t g ,)3,1(∈t 时0)('>t g ,∴1=t 时,即4πθ=时， )1(g 为极小值也是最小值,)(t g 最小值为21-.23.设向量33cos ,sin 22a θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos,sin22b θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a b a b⋅+的最大值和最小值；（2）若3ka b a kb +=-，求实数k 的取值范围.。