-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1
x 2 3 4 5 6 7 8
记 则
Xk
1, 小球碰第 1, 小球碰第
k 1
( k 1, 2, ,15) n 15 k 层钉后向左落下 0, 2 1 近似 15 2 15 n 2 X N 0 1n 5 N( n , , ) ) 大数定律和中心极限定理 k
即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9．
大数定律和中心极限定理
例2．一批种子, 其中良种占1/6, 在其中任选6000粒, 试问在这
些种子中, 良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率. 解：设X表示取6000粒种子中的良种粒数, 则X~B(6000, 1/6), E(X)=6000×(1/6)=1000, D(X)=6000×(1/6)×(5/6).
Y20~N(10, 20/12)
P{Y20≤9.1} = P{Y20-10≤9.1-10}
Y20 10 Y20 10 9.1 10 P 0.7 P 20 /12 20 /12 20 /12
(0.7) 0.2420.
n X k n t2 x 1 2 k 1 lim Fn ( x ) lim P x e dt . n n n 2
大数定律和中心极限定理
n
中心极限定理的意义
对于均值为 ,方差 2 0 的独立同分布的 r.v. 列 有
2
证: 由于服从二项分布的随机变量和n 可看作n个相互独立服从 参数为p的(0-1)分布的随机变量X1,X2,…,Xn之和，即
n X i , 其中E( X k ) p, D( X k ) pq, k 1, 2,, n, q 1 p.
i 1 n
由独立同分布中心极限定理可得 n 2 X n x n np 1 t2 k 1 k lim P x lim P x . 2 e dt n n n npq
大数定律和中心极限定理
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的实质
对于一列二项分布r.v n ~ B(n, p) (n 1, 2, ) ，有
n
近似
~ N (np , np(1 p)
~ N (0 , 1)
大数定律和中心极限定理
高尔顿钉板试验
共15层小钉
所求概率为
1 5 X ~ N (1000, 6000 ) 6 6
X 1000 X 1000 0.01 6000 2.078 P P 1 5 6000 1 5 6000 1 5 6000 6 6 6 6 6 6
§5.2 中心极限定理
同分布中心极限定理
棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理
定 理 一
林德伯格-列维中心极限定理
(Lindberg-levi)
[ 独立同分布的中心极限定理 ]
定 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 理 (De Moivre-Laplace) 二 [ 二项分布以正态分布为极限分布 ]
大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理
定理4 (棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理) 设随机变量 n 服从参数
为n , p的二项分布 (n=1,2,…, 0<p<1),则对于任意实数 x 恒有
x 1 t2 n np lim P x e dt . n 2 npq
大数定律和中心极限定理
例1．设随机变量X1,X2,…,X20相互独立，都服从U(0,1)均匀
分布, 令Y20 = X1+X2+…+X20，求P{Y20≤9.1}. 解： 依题意知, X1,X2,…,X20相互独立, 且E(Xi)=1/2, D(Xi)=1/12， i=1,2,…,20，由同分布中心极限定理得
定理3 (同分布中心极限定理) 设随机变量X1, X2, …,
Xn, …相互独立，服从同一分布，且有有限的数学期
望和方差，即 E(Xk) = ，D(Xk) = 2≠0，k = 1,2,…
则随机变量
Yn
X
k 1
n
k
n
n
的分布函数Fn(x)对任意的实数 x，都有k 1
X
n
k
n N (0,1)
即或
X1 , X 2 , , X k ,
k 1
X k n
n
n
近似
~
N (0 , 1)
2
X1 + X2 + Xn
近似
~ N (n , n )
在实际问题中,如果某数量指标满足 1. 该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成 2. 这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到 突出的作用,则这个数量指标近似地服从正态分布
Y - n 0.1 n - n 0.1 10 - n 0.1 P{10 Y n} P n 0.1 0.9 n 0.1 0.9 n 0.1 0.9
10 - 0.1n 1- (10 - 0.1n ), (3 n ) - ( ) 0.3 n 0.3 n 10 - 0.1n 10 - 0.1n 1.29, 得 n 147, ) 0.9, 只须 要使 1- ( 0.3 n 0.3 n
k 层钉后向右落下
~
例3. 在抽样检查某种产品的质量时，如果发现次品多于10个，
则拒绝接受这批产品．设产品的次品率为10﹪，问至少应抽查
多少个产品检查，才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9？ 解: 设应抽查n 件产品, 其中次品数为Y，则 Y~B(n, 0.1), E(Y) = 0.1×n, D(Y) = 0.1×0.9×n . 由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理得