其中 rss(k)和 rnn(k)分别为 s(n)和 n(n)的自相关函数。 将上两式代入(4) 式，得
h(n) * rss (n) rss (n) rnn (n)
(5)
第四讲 数字滤波技术
P s ( ) ) P s ( ) P n ( )
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采用对（4）式同样的分析方法对(5)式进行变换，得到
根据信号估计的具体形式，可以分为三类问题：
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第四讲 数字滤波技术
4. 维纳滤波器的设计
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滤波器的设计思想是： 将滤波器看作是信号传输通道， 输入信号 x(n)、 输出信号 y(n),根据最小平方滤波准则， 希望 y(n)尽量逼近希望的输出 z(n),从而设计滤波器的单位取样响应 h(n)或频响函数 H(ejw)。 输出的均方误差表示为： （ 1）
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4.4 维纳滤波和卡尔曼滤波
7.应用举例
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4.5 自适应滤波
1. 自适应滤波的基本思想
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由于维纳滤波器适用于平稳随机信号处理， 且要求具有信号和噪 声统计分布规律的先验知识，但实际应用中存在一定的困难。因此， 1967 年威德诺等人提出自适应滤波的思想，且很快得到发展和应用， 目前已广泛用于系统模型识别、雷达信号检测、跟踪和预测、医学信 号分析、信道均衡等领域。 自适应滤波的基本思想是： 在不知道任何关于信号和噪声先验统 计知识的情况下，随输入统计特性的变化， 利用前一时刻已获得滤波 器参数的结果，将滤波器的现时刻参数按照某种准则自动调整，通过 学习和跟踪的过程来满足最佳滤波的需要。
4.4 维纳滤波和卡尔曼滤波
2. 两种方法的异同点
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两种滤波方法都是在最小均方误差准则下的最优线 性估计。 维纳滤波是在频域内设计系统的传输函数，仅适用 于一维平稳随机信号。 卡尔曼滤波是在时域内直接递推设计滤波器，适合 计算机处理，且可用来处理多维、非平稳随机信号。
第四讲 数字滤波技术 3. 维纳滤波的基本思想
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若有信号 x(n)通过滤波器，系统的期望输出 y(n)应该是对 x(n)中 有用信号 s(n)的逼近或估计，表示为 因而信号处理的目的就是得到信号的一个最佳估计。
作为最佳滤波准则，设计滤波器的参数并得到最佳信号估计， 称作最小平方滤波。
4.4 维纳滤波和卡尔曼滤波
3. 维纳滤波的基本思想
燕山大学电” ——最小权系数的搜索算法：
第三讲 数字滤波技术 2. 自适应滤波器的结构
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根据滤波算法是否与滤波器的输出有关， 自适应滤波器分为开环 结构和闭环结构 。
开环结构的滤波参数只与滤波器输入信号和其它参考信号有关； 闭环结构的滤波参数不仅与上述两项有关，还与滤波器的输出有关。
3.5 自适应滤波
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（4）
4.4 维纳滤波和卡尔曼滤波
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维纳-霍夫方程的物理解释：如果输入信号 x(n)是由源信号 s(n)和干 扰噪声 n(n)混和，并且 s(n)和 n(n)不相关，那么维纳滤波器的期望输 出就是源信号 s(n)本身，即 z(n)= s(n)，则 x(n)的自相关函数和 z(n) 与 x(n)的互相关函数分别为
维纳-霍夫方程的意义是：如果已知输入随机 x(n)和所要求的输出信 号 z(n)， 则当 x(n)的自相关函数 rxx(n)和 x(n)与 z(n)的互相关函数 rzx(n) 已知时，求解维纳-霍夫方程，即可得到满足最小均方误差的滤波因 子 h(n),设计此线性滤波系统。 进一步将方程写为卷积形式： 对上式进行 z 变换，得 再将 z=ejw 带入，得
x(n)
H(z)
e(n)
y(n) _ + +
d(n)
自适应滤波器所选用的滤波准则，具体有两种： 1） 最小均方误差滤波(Least Mean Square—— LMS) 2） 递推最小二乘法（Recursive Least Square——RLS）
3.5 自适应滤波
Wj+1= Wj+μ (-Δ j)
4.4 维纳滤波和卡尔曼滤波
5. 维纳预测的基本思想
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维纳预测和维纳滤波的求解方法一致。
4.4 维纳滤波和卡尔曼滤波
6. 卡尔曼滤波的基本思想
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用状态空间法描述系统，将系统表示为状态方程和量测方程两部分， 滤波的过程是用前一个状态的观测数据来估计状态变量的当前值， 算 法具有以下特点： 在时域内通过递推过程设计滤波器，不需要知道全部过去的信号 值，且适于多维随机信号估计。 用状态方程描述状态变量的动态变化，因此信号可以是平稳的，也 可以是非平稳的。 误差准则仍然为最小均方误差准则。
H (e
j
其中 Ps(w)和 Pn(w)分别为 s(n)和 n(n)的功率谱。上式表明，维纳滤波 器的频率响应决定于源信号和噪声的自功率谱， 具有这一频响函数的 滤波器就是最小平方滤波器。由于功率谱具有实、对称的性质，所以 维纳滤波器的频率特性也是实对称的。 此图例说明，维纳滤波器对信噪比大 的频率分量传输函数大，对信噪比小的频 率分量传输函数小，以此来相对抑制噪声 通过，保证最小均方误差。
根据有无参考输入信号，闭环结构有两种典型形式。
两种典型结构的闭环滤波器结构
第三讲 数字滤波技术 2. 自适应滤波器的寻优准则
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根据自适应滤波器的结构（如下图） ，设定 x(n)为输入信号，y(n)为 输出信号，d(n)为期望信号，e(n)= d(n)-y(n)为误差信号。自适应滤波 器 H(z)的系数根据误差信号，通过一定的算法和准则，不断调整，使 输出接近期望值。
滤波器输出可表示为：
所以 为设计得到最小平方滤波因子 h(n)，须满足 （ 2）
4.4 维纳滤波和卡尔曼滤波
将（1）式代入（2）式，得
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（ 3）
由 （3）式可表示为： 此即著名的维纳-霍夫方程 。
x(n)的自相关函数 x(n)和z(n)的 互相关函数
第四讲 数字滤波技术
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