第16讲 圆周运动
【教学目标】
1.掌握描述圆周运动的物理量及其之间的关系.
2.理解向心力公式并能应用；了解物体做离心运动的条件．
【教学过程】
★重难点一、圆周运动的运动学问题★
1．圆周运动各物理量间的关系
2．对公式v ＝ωr 的理解
当r 一定时，v 与ω成正比；
当ω一定时，v 与r 成正比；
当v 一定时，ω与r 成反比。
3．对a ＝v 2r
＝ω2r 的理解 当v 一定时，a 与r 成反比；
当ω一定时，a 与r 成正比。
4．常见的三种传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即v A ＝v B 。
(2)摩擦传动：如图甲所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即v A ＝v B 。
(3)同轴传动：如图乙所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA ＝ωB 。
【典型例题】（多选）在汽车无级变速器中，存在如图所示的装置，A 是与B 同轴相连的齿轮，C 是与D 同轴相连的齿轮，A 、C 、M 为相互咬合的齿轮。
已知齿轮A 、C 规格相同，半径为R ，齿轮B 、D 规格也相同，半径为1.5R ，齿轮M 的半径为0.9R 。
当齿轮M 按如图方向转动时( )
A ．齿轮D 和齿轮
B 的转动方向相同
B ．齿轮D 和齿轮A 的转动周期之比为1∶1
C ．齿轮M 和齿轮C 的角速度大小之比为9∶10
D ．齿轮M 和齿轮B 边缘某点的线速度大小之比为2∶3
【答案】ABD
【解析】A 、M 、C 三个紧密咬合的齿轮是同缘传动，因为M 顺时针转动，故A 逆时针转动，C 逆时针转动，又A 、B 同轴转动，C 、D 同轴转动，所以齿轮D 和齿轮B 的转动方向相同，故A 正确；A 、M 、C 三个紧密咬合的齿轮是同缘传动，边缘线速度大小相同，齿轮A 、C 规格相同，半径为R ，根据v ＝ωr 得，A 、C 转动的角速度相同，A 、B 同轴转动，角速度相同，C 、D 同轴转动，角速度也相同，且齿轮B 、D 规格也相同，所以齿轮D 和齿轮A 的转动角速度相同，故B 正确；A 、M 、C 三个紧
密咬合的齿轮是同缘传动，边缘线速度大小相同，根据v ＝ωr 得 ωM ωC ＝r C r M ＝R 0.9R ＝109
，故C 错误；A 、M 、C 三个紧密咬合的齿轮是同缘传动，边缘线速度大小相同，根据v ＝ωr 得
ωA
ωM ＝r M r A ＝0.9R R ＝910，又A 是与B 同轴相连的齿轮，所以ωA ＝ωB ，所以 ωM ωB ＝ωM ωA ＝109
，根据v ＝ωr 得 v M v B ＝ωM r M ωA r B ＝109×0.9R 1.5R ＝23
，故D 正确。
★重难点二、圆周运动的动力学分析★
一、圆周运动的动力学分析
1．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面及圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，该力就是向心力。
2．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加向心力。
二、解决圆周运动问题的主要步骤
(1)审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环；
(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；
(3)分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源；
(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程。
三、圆周运动的临界问题
处理临界问题的解题步骤：
1．判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。
2．确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。
3．选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，对于不同的运动过程或现象，要分别选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。
【特别提醒】
求解圆周运动问题必须进行的三个分析
【典型例题】如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视
为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为F T (sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s 2，结果可用根式表示)。
求：
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
【答案】 (1)522
rad/s (2)2 5 rad/s 【解析】 (1)若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力，如图所示。
小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得
mg tan θ＝mω20l sin θ
解得ω20＝g l cos θ，即ω0＝ g l cos θ＝522
rad/s (2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得
mg tan α＝ mω′2l sin α
解得ω′2＝g l cos α
， 即ω′＝ g l cos α
＝ 2 5 rad/s ★重难点三、竖直平面内的圆周运动★
1．轻绳和轻杆模型概述
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。
一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。
2．两类模型对比
【解题策略】
(1)确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。
(2)确定临界点：v 临＝gr ，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是F N 表现为支持力还是拉力的临界点。
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F 合＝F 向。
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
【特别提醒】
竖直面内两类圆周运动的特征
在竖直面内做圆周运动的物体，按轨道最高点的受力特征可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接等)，称为绳模型或单外轨道模型；二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为杆模型或双轨道模型，求解时应注意两种情况的对应特征，在绳模型中(因绳只能提供
拉力)，小球在最高点受绳的拉力F ≥0，有mg ＋F ＝m v 2R
，即v ≥gR ；杆模型中(因杆既能提
供拉力又能提供支持力)，小球在最高点的条件是v ≥0，而v ＝gR 是杆的弹力方向发生改变的临界值，当0≤v <gR 时，杆提供支持力，当v >gR 时，杆提供拉力，最低点时无论是杆
还是绳，弹力方向总是竖直向上的，满足F N －mg ＝m v 2R
，弹力总大于重力。
【典型例题】(多选)如图所示，质量为m 的小球在竖直放置的半径为R 的光滑圆形管道内做圆周运动(小球半径不计)，下列说法正确的是
A ．小球通过最高点时的最小速度是gR
B ．小球通过最高点时的最小速度为零
C ．小球通过最低点时对管壁压力一定大于重力
D ．小球在水平线ab 以上的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】 BC
【解析】 小球在光滑的圆形管道内运动到最高点时的最小速度为零，A 错误，B 正确；小
球通过最低点时F N －mg ＝m v 2R ，得F N ＝mg ＋m v 2R
，故小球通过最低点时对管壁压力一定大于重力，C 正确；小球在水平线ab 以上的管道中运动时外侧管壁对小球不一定有作用力，D 错误。