江苏省高三百校大联考数学试卷参考答案与评分标准数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．已知集合{}1,0A =-，则满足{}1,0,1A B =-的集合B 的个数是 ▲ ．【答案】4【解析】本题考查集合的概念与运算．由题意，1B ∈，集合B 的个数即{}1,0-的子集个数，共4个．2. 已知2(,)a i b i a b R i+=-∈，其中i 为虚数单位，则a b += ▲ ．【答案】3【解析】本题考查复数的四则运算．因为22(,)a i ai b i a b R i+=-=-∈，所以，a＝1，b ＝2，所以a b +＝3．3． 从1,2,3,4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ▲ ． 【答案】23【解析】本题考查古典概型．基本事件总数为6，符合要求的事件数为4，故所求概率为23．4．已知单位向量,i j 满足(2)j i i -⊥，则,i j 的夹角为 ▲ ． 4．【答案】3π【解析】本题考查平面向量的垂直和数量积的计算．因为(2)j i i -⊥，所以(2)0j i i -=，即22 i j i⋅-＝0，所以，2||||cos 10i j θ-= ，即1cos 2θ=，则,i j 的夹角为3π．5. 设五个数值31，37，33，a ，35的平均数是34，则这组数据的方差是 ▲ ． 【答案】4【解析】由31373335345a ++++=，可得34a =，所以方差2222221(3134)(3734)(3334)(3434)(3534)45S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦ 6．已知实数x ，y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是 ▲ ．【答案】32【解析】本题考查线性规划．可行域为三角形区域，最优解为11(,)22．7．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．【答案】420（第6题）【解析】本题考查流程图和循环结构．20(240)246404202S +=++++==． 8．已知直线l 、m 与平面α、β，,l m αβ⊂⊂，则下列命题中正确的是 ▲（填写正确命题对应的序号）．①若//l m ，则//αβ ②若l m ⊥，则αβ⊥ ③若l β⊥，则αβ⊥ ④若αβ⊥，则m α⊥ 【答案】③【解析】本题考查线面及面面位置关系的判断．由面面垂直的判定定理可得答案为③．9．已知cos()4πθ+=(0,)2πθ∈，则sin(2)3πθ-= ▲ ．【解析】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和（差）的正弦、余弦．根据题意，3(,)444πππθ+∈，所以sin()410πθ+=，故24sin 2sin[2()]cos2()12cos ()42445ππππθθθθ=+-=-+=-+=，3cos2cos[2()]sin 2()2sin()cos()424445πππππθθθθθ=+-=+=++=-，因此413sin(2)()3525πθ-=⋅--=10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，且与直线x －y －3＝0相切，则圆C 的半径为 ▲ ． 解析：可设圆心为(2，b )，半径r ＝b 2＋1，则|－1－b |2＝b 2＋1，解得b ＝1．故r ＝2．答案： 211．已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，若1214k k ⋅=，则椭圆的离心率为 ▲ ． 11．【解析】本题考查椭圆的标准方程和几何性质．设00(,)M x y ，则00(,)N x y -，2222200012222220000(1)14x b y y y b a k k x a a x a x a x a -⋅=⋅====+---，可得2234a c =，从而2c e a ==．12．若0,0a b >>，且21a b +=，则22(4)S a b =+ 的最大值是 ▲ ．12．【解析】由22a b+得12，22142a b +≥，所以22221(4)(2)2S a b a b ⎡⎤=+=+-⎣⎦，当且仅当122a b ==时取到等号．13．已知数列{}n a 为等差数列，首项11a =，公差0d ≠，若123,,,,,n k kk k a a a a 成等比数列，且11k =，22k =，35k =，则数列{}n k 的通项公式n k = ▲ ．【答案】1312n -+【解析】本题考查等差数列和等比数列．由题意，2215a a a =⋅，2(1)1(14)d d +=⋅+，得2d =，即21n a n =-，所以21nk n a k =-．又等比数列125,,a a a 的公比为3，所以13n n k a -=．根据1213n n k --=可得1312n n k -+=．14．若函数ln ()ln(1)2kxf x x =-+不存在零点，则实数k的取值范围是▲ ．14．【答案】[0,4)【解析】本题考查函数的性质与方程思想及数形结合思想．解法一：由题意可知01012kx x k x x ⎧⎪>⎪+>⎨⎪⎪=++⎩，可设1()2,(1,0)g x x x x x =++>-≠，函数图象(图1)与直线y k =没有交点，则04k ≤<．解法二：如图(2)，在同一坐标系中画出21(1),1y x x =+>-和2y kx =的图象．显然当4k =时直线与抛物线相切，所以当04k ≤<时，没有交点．故04k ≤<．图1y二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知平面向量(sin(),cos )m C C π=-，(sin(),sin )2n B B π=+，且sin 2m n A ⋅=．（1）求sin A 的值；（2）若1,cos cos 1a B C =+=，求边c 的值．15．【解析】（1）由题意，sin2sin cos sin cos A C B B C =+ …………………………2分得2sin cos sin()sin A A B C A =+= (4)分由于ABC ∆中sin 0A >，2cos 1A ∴=，1cos 2A =………………………………5分∴23sin 1cos 2A A =-=………………………………………………………6分（2）由cos cos 1B C +=得cos()cos 1A C C -++= ………………………………7分即sin sin cos cos cos 1A C A C C -+=，31sin cos 122C C ∴+=…………9分得sin()16C π+=，250,3666C C ππππ<<∴<+<，平方得3C π∴=……………12分所以ABC∆为正三角形，1c∴=………………………………………………… 14分16．（本小题满分14分）如图，四棱锥E－ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD．（1）求证：AB⊥ED；（2）线段EA上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？请说明你的理由．解析：（1）证明：如图，取AB中点O，连结EO，DO.因为EA＝EB，所以EO⊥AB. …………………………1分因为AB∥CD，AB＝2CD，所以BO∥CD，BO＝CD.又因为AB⊥BC，所以四边形OBCD为矩形，所以AB⊥DO. ……………………………………………4分因为EO∩DO＝O，所以AB⊥平面EOD. ……………………………………5分又因为ED⊂平面EOD，所以AB⊥ED. ……………………………………………6分（2）当点F为EA中点时，有DF∥平面BCE.证明如下：取EB中点G，连结CG，FG.因为F为EA中点，所以FG∥AB，FG＝12AB. ………………………………8分因为AB∥CD，CD＝12 AB，………………………………9分所以FG∥CD，FG＝CD. ………………………………10分所以四边形CDFG是平行四边形，……………………11分所以DF∥CG. ……………………………………………12分因为DF⊄平面BCE，CG⊂平面BCE，所以DF∥平面BCE. ………………………………………14分17．（本小题满分14分）如图，ABCD是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF，其中动点E、F分别在CD、BC上，且△ECF的周长为常数a（单位：百米）．（1）求景观带面积的最大值；（2）当a=2时，请计算出从A 点欣赏此景观带的视角（即∠EAF ）．17．解析：（1）设,EC x CF y ==，则x y a +=（※）由基本不等式，(2x y +≥=……… 3分所以，△ECF的面积221122S xy =≤=……………… 5分当且仅当22x y ==时等号成立 故景观带面积的最大值为FEDC BA （第17题）234-……………………………………… 6分（2）记,EAD FAB αβ∠=∠=，,(0,),(0,)22ππαβαβ∈+∈,则tan 1,tan 1x y αβ=-=- 故22()tan()1(1)(1)x y x y x y x y xyαβ---++==---+-由（※）可得，2()2a xy a x y =+-，即2()2xy x y =+- (10)分代入上式可得，2()tan()2()x y x y αβ-++=-+=1所以()24EAF ππαβ∠=-+=故当2a =时，视角EAF∠为定值4π……………………………………………… 14分 18．（本小题满分16分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为(1,0)F ，A 、B 是椭圆C 的左、右顶点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且△APB面积的最大值为．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线AP 与直线2x =交于点D ，证明：以BD 为直径的圆与直线PF 相切．18．解析：（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意知2221221, .a b c a b c ⎧⋅⋅=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,a b ==故椭圆C的方程为22143x y +=．……………………6分（2）由题意，设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=． 设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．所以2026834k x k -=+，00212(2)34ky k x k=+=+．………………………………………10分因为点F 坐标为(1, 0)，当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±. 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切．…11分当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PFy kk x k ==--.所以直线PF的方程为24(1)14ky x k =--． …………………………………………13分 点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-．…………15分又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =．故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，以BD 为直径的圆与直线PF相切． ………………………………………16分 19．（本小题满分16分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足等式23n n a S +=. （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）能否在数列{}n a 中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；（3）令131log 2n n b a =+，记函数212()2(*)n n n f x b x b x b n N ++=++∈的图象在x 轴上截得的线段长为nc ，设122311()4n n n T c c c c c c -=+++(2)n ≥，求n T ，并证明：12342n n T T T T n->．【解析】（1）当1n =时，1123a a +=，则11a =.又23n n a S +=，所以1123n n a S +++=，两式相减得113n n a a +=，即 {}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，所以113n n a -=…………………………………………4分（2） 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为,,,()p q r a a a p q r << 则111211333q p r ---=+，即211333q p r =+，所以2331r q r p --⋅=+，即2331r q r p --⋅-=，即3(23)1r q q p ---=又p q r <<，*,r q r p N ∴--∈，所以33,230r q q p -->-< 所以3(23)0r q q p ---<∴假设不成立，所以不存在三项按原来顺序成等差数列……………………9分（3）设()f x 与x 轴交点为12(,0),(,0)x x122n n n b b b ++=+，∴当()f x =0时有2(1)()0n n x b x b +++=21221,n n n n b b x x b b ++∴=-=-=- 1222|||1|||n n n n b c x x b b +∴=-=-+=又1311log 022n n b a n =+=->， 2n nc b ∴=11122114()n n n n n nc c b b b b ---∴=⨯=- 1223111111114[()()()]4n n nT b b b b b b -∴=⨯-+-++- 111112(1)111222n n b b n n -=-=-=--………………………………14分2(1)2(1)12n n n T n n --∴=>- 123422223242(1)22345n n n T T T T n n-⋅⋅⋅-∴>⋅⋅⋅=………………………………16分20．（本小题满分16分）已知函数32()f x x x b =-++，()ln g x a x =． （1）若()f x 的极大值为427，求实数b 的值；（2）若对任意[]1,x e ∈，都有2()(2)g x x a x -++≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0b =时，设()(),1(),1f x x F x g x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩≥，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．20．解析：（1）由32()f x x x b =-++，得2()32(32)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得0x =或23．当x 变化时，()f x '及()f x 的变化如下表：所以()f x 的极大值为24()327f b =+=427， 0b ∴=．…………………………………………………………………………………4分（2）由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(ln )2x x a x x -≤-．[1,],ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，ln x x ∴<，即ln 0x x ->22ln x xa x x-∴≤-恒成立，即2min 2()ln x x a x x-≤- (6)分令22(),([1,])ln x xt x x e x x-=∈-，求导得，2(1)(22ln )()(ln )x x x t x x x -+-'=-， 当[1,]x e ∈时，10,0ln 1,22ln 0x x x x -≥≤≤+->，从而()0t x '≥，()t x ∴在[1,]e 上为增函数， min ()(1)1t x t ∴==-，1a ∴≤-．………………………………………………………………………………8分（3）由条件，32,()ln ,x x F x a x ⎧-+=⎨⎩11x x <≥，假设曲线()y F x =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧，……9分不妨设(,())(0)P t F t t >，则32(,)Q t t t -+，且1t ≠．POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，0OP OQ ∴⋅=， 232()()0t F t t t ∴-++= （*），是否存在P ，Q等价于方程()*在t >且1t ≠时是否有解．………………………11分①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解；…………………………………………………………………………………………12分②若1t >时，方程()*为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a=+，设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>， 即()h t 在()1,+∞上为增函数，()h t ∴的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞， ∴当0a >时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．……………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修41-：几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，求证：∠PDE＝∠POC .【解析】因AE ＝AC ，AB 为直径，故∠OAC ＝∠OAE . ………………………………………………2分 所以∠POC ＝∠OAC ＋∠OCA ＝∠OAE ＋∠OAC ＝∠EAC . …………………………6分又∠EAC ＝∠PDE ，…………………………………………………………………… 8分所以∠PDE ＝∠POC . ………………………………………………………………… 10分B ．选修42-：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12．求向量α，使得A 2α＝β． （第21(A)题）【解析】∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 1，∴A2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 24 3．……………………………………3分 设α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，则A2α＝β⇔⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 24 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12⇔⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3x ＋2y 4x ＋3y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，…………8分解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2． ……………………………………………………………………………10分C ．选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4．若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度．22，…………………………………………3分 ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －222＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫y －222＝1，…………………………6分∴圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，22到直线l 的距离d ＝64，………………………………………………8分 ∴AB ＝102．……………………………………………………………………………10分D ．选修45-：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值．【解析】因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，所以⎝⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)] ≥(1＋1＋1)2，…………6分即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1，…………………………………………………………8分当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1. …………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定．．．．．区域．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲、乙、丙三人商量周末自驾游，甲提议去六朝古都南京，乙提议去江南水乡无锡，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．记所需抛掷硬币的次数为X ． （1）求6X =的概率；（2）求X 的分布列和数学期望．【解析】（1）()323511156222216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (4)分（2）分布列为:……………………………8分 ∴115593456784161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯= (10)分23．（本小题满分10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点， 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D -AP -CPF 的长度．23. 解析：（1）因为∠BAF=90º，所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB ， 所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形， 所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,2,0)C ．所以 1(,0,1)2BE =-，1(1,1,)2CP =--， PF EDCAB·21· 所以4cos ,15||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为． --------------------------5分（2）因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =． 设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-，(1,2,0)AC =， 所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t -=-， 所以，121212||cos ,||||(n n n nn n ⋅<>===⋅- 解得23t =，或2t =（舍）． 所以||PF =． -------------------------10分 ∴115593456784161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………………10分。