巴特沃斯高通数字滤波器设计要求：3dB 数字截止频率为rad c πω2.0=，阻带下边频πω05.0=s rad ，阻带衰减为dB A s 48≥。

一、课程设计目的：数字信号处理（Digital Signal Processing DSP ）是20世纪60年代以来，随着信息学科和计算机学科的高速发展而迅速发展起来的一门新兴学科。

数字信号处理是利用计算机或其他专用处理设备，以数值计算的方法对信号进行采集、变换、滤波、压缩、传输、估值与识别等加工处理，借以达到提取信息和便于应用的目的的一种技术。

数字信号处理随着计算机技术信息技术的进步获得了飞速的发展。

数字信号处理已广泛应用于科学研究和工程技术的各个领域，是新一代IT 工程师必须掌握的信息处理技术。

它在越来越多的应用领域中迅速替代传统的模拟信号处理技术，并且开辟出许多新的领域。

数字信号处理有很多深奥的数学概念，理论也相对抽象，而且是一门理论与实践密切结合的课程。

我们通过课程设计深入掌握课程内容，深入理解与消化关于巴特沃斯滤波器的基本理论，锻炼我们独立解决问题的能力，培养我们的创新意识，加强我们的实践学习。

二、设计原理：1、数字滤波器所谓数字滤波器，是指输入输出均为数字信号，通过数字运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。

正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。

按照不同的分类方式，数字滤波器可以有很多种类型，但总起来可以分为两大类：经典滤波器和现代滤波器。

经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的成分分别占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到滤波目的。

但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典滤波器无法有效滤除干扰，最大限度恢复信号，这就需要现代滤波器。

现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度抑制干扰，同时最大限度恢复信号，达到最佳的滤波效果的目的。

2、模拟滤波器模拟滤波器的理论和设计方法已经发展的相当成熟，且有多种典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器、贝塞尔滤波器等。

这些滤波器有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用，而且所涉及的系统函数都满足电路实现条件。

这些典型的滤波器各有特点：巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或阻带有等波纹特性，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的特性相对前三者是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹特性，相位特性的非线性也稍严重。

设计时，根据具体要求选择滤波器的类型。

现在，我们分别使用a h ()t 、H a ()Ωj 、H a ()s 表示模拟滤波器的单位冲激响应、频率响应函数、系统函数，三者的关系为：()()[]dt e h t h LT s H st a a a -∞∞-⎰==()()[]()dt e t h t h FT j H t j a a a Ω-∞∞-⎰==Ω可以用()t h a 、()t H a 、()Ωj H a 中任意一个描述模拟滤波器，也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器。

但在设计滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数()Ωj H a 给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数()s H a 。

工程上通常用所谓的损耗函数（也称为衰减函数）()ΩA 来描述滤波器的幅频响应特性，对归一化幅频响应函数，()ΩA 定义如下（其单位是分贝，用dB 表示）：()()()2lg 10lg 20Ω-=Ω-=Ωj H j H A a a dB应当注意，损耗函数()ΩA 和幅频特性函数()Ωj H 只是滤波器幅频响应特性的两种描述方法。

损耗函数的优点是对幅频响应()Ωj H a 的取值非线性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带的频响特性的变化情况。

模拟低通滤波器的设计指标参数有p α、p Ω、s α和s Ω。

其中p Ω和s Ω分别称为通带边界频率和阻带截止频率，p α称为通带最大衰减（即通带[]p Ω,0中允许()ΩA 的最大值），s α称为阻带最小衰减（即阻带s Ω≥Ω上允许()ΩA 的最小值），p α和s α的单位是dB 。

对于单调下降的幅度特性，p α和s α可表示为：()2lg 10p a p j H Ω-=α()2lg 10s a s j H Ω-=α 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个系统函数()s H a ，希望其幅度平方函数满足给定的指标。

一般的滤波器单位冲激响应为实函数，因此()()()()()ΩΩ=-=ΩΩ=j H j H s H s H j H a a j s a a a *2如果能由p α、p Ω、s α和s Ω求出()2Ωj H a ，那么就可以求出()()s H s H a a -，由此可求出所需要的()s H a 。

()s H a 必须是因果稳定的，因此极点必须落在s 平面的左半平面，相应的()s H a -的极点必然落在右半平面。

这就是由()()s H s H a a -求所需要的()s H a 的具体原则。

3、巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种。

巴特沃斯滤波器的特点是通频带的频率响应曲线最平滑。

这种滤波器最先由英国工程师斯替芬·巴特沃斯（Stephen Butterworth ）在1930年发表在英国《无线电工程》期刊的一篇论文中提出的。

巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。

在振幅的对数对角频率的波特图上,从某一边界角频率开始,振幅随着角频率的增加而逐步减少,趋向负无穷大。

一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频6分贝，每十倍频20分贝。

二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝、 三阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频18分贝、如此类推。

巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且也是唯一的无论阶数，振幅对角频率曲线都保持同样的形状的滤波器。

只不过滤波器阶数越高，在阻频带振幅衰减速度越快。

其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低级数的振幅对角频率有不同的形状。

4、设计IIR 数字滤波器的频率变换法（1）、归一化模拟低通原型到数字高通滤波器的变换设归一化模拟低通原型滤波器的系统函数是()p H aL ，p 为模拟域内的拉普拉斯变量。

在模拟域内从低通到高通变换，即以1-p 代替p,有()()p H p H aL aH /1=进行反归一化后，即以c s p Ω=/代入上式，得到反归一化后的高通滤波器的传输函数()s H()⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=s H s H s H c aL c aH ； 再进双线性变换，得数字高通滤波器的系统函数为()()()c z z p aL z z s p H s H z H 11111111-----+Ω=+-===；直接由归一化低通原型变换为数字高通滤波器时，变换关系为1111---+Ω=z z p c ，2cot 2w c Ω=Ω，2tan c c w =Ω 其中，c Ω为模拟滤波器3dB 截止频率；c w 为数字滤波器3dB 截止频率。

（2）归一化模拟低通原型到数字带通滤波器的频率变换直接寻求从模拟低通到数字带通之间的映射关系：cz z w z p Ω-+-=---)1(cos 212201，w w w sin cos cos 0-=Ω]2/)cos[(]2/)cos[(cos 0l u l u w w w w w -+=，uu c w w w sin cos cos 0-=Ω susu s w w w sin cos cos 0-=Ω 其中，c Ω为模拟滤波器3dB 截止频率；su l u w w w w ,,,0分别是数字带通滤波器的中心频率、通带上边频、通带下边频和带通的上阻带下边频。

（3）归一化模拟低通原型到数字带阻滤波器的变换直接寻求从模拟低通到数字带阻之间的映射关系：susus u u c l u l u c w w w w w w w w w w w w w w z w z z p cos cos sin cos cos sin ,]2/)cos[(]2/)cos[(cos cos cos sin ,cos 21)1(00002012-=Ω-=Ω-+=-=Ω+-Ω-=--- 其中，c Ω为模拟滤波器3dB 截止频率；su l u w w w w ,,,0分别为数字带阻滤波器的中心频率、阻带上边频、阻带下边频和带阻的上通带下边频。

（4）数字低通滤波器到数字低通的变换由截频为c θ的数字低通滤波器系统函数()z H L 得到截频为c w 的数字低通滤波器系统函数()z H d ，变换关系为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-----=2sin 2sin ,1111ccc cz a z L d z H z H ωθωθααα （5）数字低通滤波器到数字高通变换由截频c θ的数字低通滤波器系统函数()z H L 得到截频为c w 的数字高通滤波器系统函数()z H d ，变换关系为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=---2cos 2cos ,1111cc c cz z z L d z H z H ωθωθααα（6）数字低通滤波器到数字带通变换由截频为c θ的数字低通滤波器系统函数()z H L 得到中心频率为0ω，带通上、下截频分别为c u ωω,的数字带通滤波器系统函数()z H d ，变换关系为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=-----2tan 2cot cos 2cos 2cos ,112111112012121c l u l u l u k z k k z k k k k z k k z z θωωωωωωωααα 5、MATLAB 模拟频率变换函数 MATLAB 信号处理工具箱函数lp2lp 、lp2bp 、lp2hp 、lp2bs 是模拟频率变换函数。

（1）低通模拟滤波器到低通模拟滤波器变换函数lp2lp调用格式说明如下。

[bs,as]=lp2lp(b,a,Wl)该函数将截止频率为1rad/s （归一化截止频率）的模拟低通原型滤波器变换成截止频率为Wl 的低通滤波器。

（2）低通模拟滤波器到带通模拟滤波器的变换函数lp2bp调用格式如下。

[bs,as]=lp2bp(b,a,W0,Bw)该函数将截止频率为1rad/s （归一化截止频率）的模拟低通原型滤波器变换成具有指定带宽ωB 和中心频率为0ω的带通滤波器。