4.3 指数平滑法
一次指数平滑公式的展开如下 ：
ˆ ˆ aY 1a Y Y t 1 t t ˆ 1 aYt 1a aY a Y t 1 t1 ˆ aYt a1a Yt1 1a Y t 1
2
aYt a1a Yt1 a1a Yt2 a1a Yt3
•
表4-1 化妆品销售额及一次移动平均法计算表（单位：万元）
年 2002 月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2003 1 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 销售额 Yt 15.0 16.5 14.7 16.2 13.8 12.9 14.0 14.4 15.3 14.7 16.5 14.7 预测值 15.4 15.8 14.9 14.3 13.6 13.8 14.6 14.8 15.5 15.3 0.8 -2.0 -2.0 -0.3 0.8 1.5 0.1 1.7 -0.8 15.2 14.8 14.3 14.3 14.1 14.3 15.0 15.1 -2.3 -0.8 0.1 1.0 0.6 2.2 0.3 k=3
练习：见书P106页表4-5（例4.4）
4.2 平均值预测法
关于二次移动平均法的小结： 该方法不是用二次移动平均值直接进行预测，而是 在二次移动的基础上，利用滞后偏差建立线性预测模 型，然后再用所得到的模型进行预测 该方法适用于平稳时间序列ST，以及存在线性变化 的趋势数据 该方法可以进行远期预测，但预测误差一般都较大， 因为at，bt实际上存在近期的局限性
Yt Yt 1 Yt k 1 ˆ Yt 1 M t k
(t k )
移动平均法下，每期观测结果的权重都相同 移动平均法只处理已知的最近k期数据，新的观测值 不断被纳入计算平均值，同时去掉早期的观测值 1阶移动平均MA(1)是4.1节公式（1）中的朴素预测法
4.2 平均值预测法
1.00 -1.00 1 Autocorrelations of e -0.50 0.00 0.50
2
3 Lag
4
5
6
Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands
4.2 平均值预测法
• 例4.3残差自相关系数的Q检验结果 • • • • • • • • LAG AC 1 2 3 4 5 6 0.5063 0.0786 -0.2986 -0.6028 -0.6426 -0.2195 PAC 0.5137 -0.2146 -0.3971 -0.5096 -0.6381 0.0669 Q 7.2093 7.3904 10.126 21.807 35.745 37.456 Prob>Q 0.0073 0.0248 0.0175 0.0002 0.0000 0.0000
Yt Yt 1 Yt k 1 Mt k
(t k )
其中k为移动平均的期数，表示k阶移动平均 移动平均的作用在于修匀数据，消除一些随机干扰， 使长期趋势显露出来，从而可用于趋势分析及预测
4.2 平均值预测法
如果时间序列没有明显的周期变化和趋势变化，可 用第t 期的移动平均值作为第t+1期的预测值，即：
4.3 指数平滑法
用一次指数平滑法进行预测，除了选择合适的a外， 还要确定平滑序列的初始值 S0 ，初始值是由预测者 估计或指定的，具体方法是： （1）选取第一期观测值作为初始值，即：
ˆ S Y Y 1 0 1
（2）选取最初几期观测值的平均值作为初始值，即：
k 1 ˆ S Y Y t 1 0 k t 1
4.2 平均值预测法
• 当k=3时， • 当k=5时，
1 12 ˆ MSE Yt Y t 7 t 6
1 12 ˆ MSE Yt Y t 9 t 4


2
15.16 1.68 9
2


12.23 1.75 7
• 计算结果表明：k=3时，MSE较小，故选取k=3。预 测2003年1月份的化妆品销售额为：
Y12 Y11 Y10 ˆ ˆ 15.3(万元) Y2003.1 Y13 3
4.2 平均值预测法
一次移动平均法的应用：P101例4.3 采用5期移动平均的方法进行预测 预测方法选择是否合适？预测的效果如何？
4.2 平均值预测法
可对预测误差（残差）进行自相关检验： • 例4.3残差的自相关系数检验图
4.2 平均值预测法
关于一次移动平均法的小结： 一次移动平均法只处理已知的最近k期数据 局限： 该方法只能对后续相邻的那一项进行预测 该方法只适用于平稳时间序列ST，对趋势或季节型数 据的处理并不出色 当时间序列呈上升趋势时，预测值偏低；当时间序列 呈下降趋势时，预测值偏高
4.2 平均值预测法
为了解决大量数据储存的问题，还可以使用如下公式：
ˆ Y t 2 ˆ Y tY t 1 t 1 t 1
当时间序列是平稳的，简单平均法是一种适宜的预测 方法（例如处于成熟期的产品数量）
4.2 平均值预测法
4.2.2 一次移动平均法
定义：所谓一次移动平均法（moving average） ，就 是取时间序列的k个连续观测值予以平均，并依次滑动， 直至将数据处理完毕，得到一个平均值序列，即：
4.2.3 二次移动平均法
如果数据具有线性趋势，则一次移动平均数预测值 和实际值之间大都存在滞后的偏差，为解决存在线性趋 势的预测，需要使用二次移动平均法 该方法并不是用二次移动平均值直接进行预测，而是 在二次移动的基础上，利用滞后偏差建立线性预测模型， 然后再用所得到的模型进行预测
4.2 平均值预测法
历史观测值丧失其影响的速度取决于a的大小：a越大， 预测值对时间序列的反应速度也越快；反之则越慢。 因此选择合适的 a 值是得出精确预测结果的关键。 一般地，若序列变化较平稳，则 a 值应小一些；若序 列波动较大，则 a 值应大一些。除了人为选择a的取 值外，还可以通过软件的迭代法，自动选择产生最小 预测误差（例如MSE）的a值。
第4章 移动平均法和指数平滑法
4.1 朴素法 4.2 平均值预测法 4.3 指数平滑法 4.4 Stata软件操作
4.2 平均值预测法
4.2.1 简单平均法
定义：所谓简单平均法（simple average） ，就是采 用所有相关历史观测值的平均值作为下一期的预测，即：
t 1 ˆ Y Y t 1 i t i 1
例4-4：音像店每周的出租量y
740 660 0 680 y 700 720
5 t
10
15
如果依然使用一次移动平均法进行预测，会产生什 么后果？
4.2 平均值预测法
所谓二次移动平均，就是将一次移动平均序列再进行 一次移动平均。二次移动平均值的计算公式为：
M t M t 1 M t k 1 M k
4.3 指数平滑法
4.3.2 霍特法（Holt）：趋势调整
霍特线性指数平滑法，主要考虑了随时间而变化的局 部线性趋势，即水平值和趋势斜率系数都会随时间而 改变
4.3 指数平滑法
用于霍特法的三个公式是： （1）现时水平估算值：
Lt aYt 1 a Lt 1 Tt 1
（2）趋势估算值：
Tt Lt Lt 1 1 Tt 1
（3）未来p期的预测值：
ˆ L pT Y t p t t
表示水平的平滑系数， 表示趋势估算值的平滑系数
4.3 指数平滑法
有关霍特法平滑系数和初始值的说明：
两个平滑系数 与 ，既可以通过主观选择，也可以通过软件 最小化预测误差自动选择 初始值的设定有两种方法： • 方法一：水平的初始值L0=Y1，T0=0 • 方法二：将前几期的观测值作为因变量，时间t作为自变量进 行回归，回归结果中常数项的估计值作为L0，斜率系数作为 趋势的初始值T0 （Stata默认前一半的观测值作为回归的样本 量）
4.3 指数平滑法
4.3.1 一次指数平滑法
指数平滑法（exponential smoothing）：是根据更近 的经验不断修正预测值的一种方法
ˆ S aY 1 a Y ˆ Y ˆ a (Y Y ˆ) Y t 1 t t t t t t
a为平滑系数（0<a<1） 第t+1期的预测值等于在第t期的预测值的基础之上， 再对第t期的预测误差进行a 倍调整
ˆ Y t
k=5
ˆ Yt Y t
ˆ Y t
ˆ Yt Y t
4.2 平均值预测法
• 预测误差可以通过均方误差MSE来度量，即：
1 n 2 ˆ MSE (Yt Yt ) n k t k 1
其中，n为时间序列的项数 • 如在本例中，要预测化妆品的销售额，究竟应取 k=3还是k=5合适，可通过计算这两个预测公式的均 方误差MSE，选取使MSE较小的那个k。
4.3 指数平滑法
移动平均法只考虑最近的观测结果，且对每期观测 值都赋予相同的权重 指数平滑法是对时间序列由近及远采取具有逐步衰减 性质的加权处理，使得近期的数据以较大的权数，远 期的数据以较小的权数，是对移动平均法的改进 指数平滑法的分类： 一次指数平滑法 霍特法（Holt）：趋势调整 温特法（Winters） ：趋势和季节调整
' t
其中 M t'和M t分别表示第t期的二次移动平均值和一次 移动平均值 M t 从第k项开始有数据， M t' 从(2k-1)项开始有数据
4.2 平均值预测法
为了消除滞后偏差对预测的影响，可在一次、二次移 动平均值的基础上，利用滞后偏差的规律来建立线性趋 势模型，利用线性趋势模型进行预测 预测步骤为： （1）对时间序列 yt 计算出 M t 和M t' （2）利用 M t 和M 计算线性趋势模型的截距 t 和斜率 bt at M t M t M t' 2 M t M t' 2 ' bt M M t t k 1 k表示移动平均值的期数