B
A
C
E
若DE ∥ BC 则
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠ACB=∠DCE,
D AB ACBC. DE DC CE
若△ABC∽ △DEC,
从上面的解答中，你获得了那些信息？
A
D
E
B
CEDຫໍສະໝຸດ ABC平行于三角形一边的直线和其他两边（或两 边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形 相似.
相似三角形的预备定理：
B
D
A
E
C
7．如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求AE和BC的长．
8．如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
9.已知EF∥BC,求证:
BD DC EG GF
A
E
G
27.2相似三角形的判定 之1
预备定理
回顾：
两个条件要 同时具备
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形.
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三
角形是相似三角形. 符号语言：
A
B
C B′
A′
在△ABC和△A´B´C´中，
∵ A A , B B , C C
AB B C CA .
C′
AB BC CA
∴△ABC∽△A´B´C´
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与
△ABC相似比为 1 k
对应角___相__等__, 对应边——成—比——例—的两个三
角形,
叫做相似三角形 A
.
D
B
CE
∠A=∠D, ∠B=∠6E, ∠C=∠F
AB AC BC DE DF EF
l1 l2
D
E
l3
A
l4
B
C
l5
l1
A D
B
l2
l3
E
l4
C
l5
l1 l2
D
E
l3
A
l4
B
C
l5
平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对 应线段的比相等.
三角形的中位线截得的三角形与原三角形 是否相似？相似比是多少？
A
D
E
B
C
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的 中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ∆ADE与∆ABC有什么关系？
A
D B
E C
思考:
改变点D在AB上的位置，请猜想 ∆ADE与∆ABC是否相似? 说明理由.
A
探索发现：
D
E
D
E
B
C
如图，在正△ABC中,点D为AB中点,
过点D作DE∥BC交AC于点E,则△ADE与
△ABC相似吗? ∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
探索发现：
变式1：如图，在△ABC中,点D为AB中点,
5、如图，在 ABCD中，E是边BC上的一点，
且 BE:EC=3:2 ， 连 接 AE 、 BD 交 于 点 F ， 则
BE:AD=_3_:_5__，BF:FD=__3_:_5_。
A
D
F
B
E
C
6、如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB
于 D ， 过 点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E ， 若 AD:DB=3:2，则EC:BC=___3_:_5_。
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直 线，截得的三角形与原三角形相似。
DE//BC △ADE∽△ABC
A
D
E
B
C
A
B
C
D
E
E
D
A
B
C
判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线）
平行于三角形一边的直线和其他两边
相交，所构成的三角形与原三角形相似。
“A”型
“X”型
A
D
E
D
E
O
B （图1）
C
B
（图2）
A A , A B D , A E C ED
如图，△ABC 中，DE∥BC，
GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，则
图中与△ABC相似的三角形共有多
少个?请你写出来.
A
解： 与△ABC相似的三角形有3个:
△AＤＥ
G D
△ＧＦＣ △ＧＯＥ
O
E
B
C
F
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形；
求线段AE的长度
A
1.5
D
2
E
6
6
B
3
F2 C
练习：
1、若 BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出线段AE的长度
吗？ 解：∵DE∥BC,DF∥AC
A
1.5
∴四边形DFCE为平行四边形 ∴FC=DE=2，EC=DF=6
∵DF∥AC
D
2
E
6
6
∴△BDF∽△BAC
B
3
F2 C
BF
∴BC
DF AC
延长线交于点E，△ADE与 E △ABC相似吗?
D
∵ DE∥BC
A
∴△ADE ∽ △ABC
G
F
B
C
• 如图，已知DE ∥ BC,
• 则．．．．．．
EC
A
DB
若DE ∥ BC则
∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC, ∠AED=∠ACB,
AD AEDE. AB AC BC
故△ADE∽ △ABC,
F
B
D
C
F
GE
A
B
D
C
10.已知EF∥BC,FG∥DC,
求证:
AE AG AB AD
A
G
C
E
G
E
F
A
B
B
F D
D
C
11.已知DE∥BC,EF∥CD,
求证:
AD AB AF AD
A
F D
B
E
C
B
E
D
A
F C
12:如图，E是平行四边形ABCD的边BC 的延长线上的一点，连结AE交CD于F， 则图中共有相似三角形（ ）
E,F为中点.
求证：（1）△EDM∽△FBM；
(2) BD=9，求BM的长
D
C
F
M
A
E
B
再见
F 6
△ ABC∽ △DEF
相似三角形的—对——应—角——相—等, 各对应边——成—比——例—。
相似比:
AB DE
BC EF
AC DF
=k
k1 两三角形相似 k=1 两三角形全等
思考：
相似三角形与全等三角形有什么内 在的联系呢？
1 当两个三角形的相似比为 时，它们
是全等的，全等是相似的一种特殊情况。
若 BD 求2
的值E。C
AB = 5，
AC
解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC
BD BM 2
∴ BA= =BC ， 5 又∵ ME∥AB，
∴△CEM∽△CAB
∴ CE= CA
CM 3
=
CB
5
B MC 3 BC= 5
A
D
E
2份 M
3份 C
5份
拓展提高：
3.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2DC，
ΔOAB∽ΔOCD
练习：
A
2、如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,请
尽可能多地找出图中的相似三角形， D
E
并说明理由。
1. DE∥BC
ΔADE∽ΔABC
B
F
C
2.DF∥AC
ΔDBF∽ΔABC
三角形相似具有
3. ΔADE∽ΔABC
ΔADE∽ΔDBF
传递性!
ΔDBF∽ΔABC
这是两个极具代表性的
相似三角形基本模型：“A”型和“XA ” 型
求：BC.
AD
l1
解：Ql1//l2 //l3
\
AB BC
DE EF
（平行线分线段成比例定理）
即
3 BC
2 4
3
B
?
C
2
E l2
4
F l3
\ BC 6
[例一]
已
知
：
如
图 1/ /， 2l/ /l3l ， B AC B
m. n
A
D
l1
求 证D D： F E mm n.
E
B
l2
证明 ：Ql1//l2 //l3 ,
l1
l2
A
D
l3
AB DE, AC DF
AC DF AB DE
B
E
l4
BC EF , AC DF
AC DF, C BC EF
F l5
A B C
D
l1
E l2
F l3
形象记忆
....
上上 下 下 下下 上 上
下下 全 全
左左 右 右
....
已 知 1 ： /2 / /如 3 l / ， l 图 3 A D , B E ， 2E, F 4 l.
问题二 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
则
ACI CIFI
2 3
A B C D
E F