=
C R
P1
CP1
RP
1
I qq 0
0 I ( n q )( n q )
再来讨论(n－q)维状态观测器的构建，用线性变换 x = Px，
将方程(1)变换成
x = PAP-1x + PBu y = CP-1x = CP-1x = Iqq 0 x
记 : A＝PAP－1 B＝PB
C CP1
以足够快的速度趋近于零，也就是说，不管状态观测器的
初始状态如何，状态观测器所重构的状态变量 xˆ 终将逐渐
趋近于实际状态 x ，所以，这样的状态观测器也称之为渐 进状态观测器。该性质也使其在实际使用中毋需设置初始 状态。
第6章 状态观测器
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值得一提的是，虽然 (A－MC) 特征值的负实部离虚
i (A C M ) i , i =1,2, , n
求出M后，即可构成闭环状态观测器：
xˆ = (A - MC)xˆ + My + Bu
(8)
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全维状态观测器的另一种设计方法是，先对被观测系
统进行非奇异变换 z＝T，x 再从形式上列出类似于式(8)
的观测器方程。
B
x
x C
y
A
xˆ 0
B
xˆ
xˆ C
yˆ
A
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这样的观测器称为开环状态观测器，从开环状态观测
器中取出 xˆ 可作为 x 的估计值近似替代，当然希望 xˆ 与x 是相等的。用 x 来表示 x 和 xˆ 的偏差，即 x x xˆ ， 下面来简单分析估计偏差 x的特性。式(1)和式(2)相减得
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6.2 全维闭环状态观测器
前述的开环状态观测器只用到系统的输入信号对原系统 进行模拟复制，并没有利用原系统的输出信息。由经典控制 理论可知，引入负反馈可抵抗干扰影响，使被控制量更好的 逼近输入量。在状态观测器中，我们可以把 x 看作是观测器
的参考输入，而把 xˆ 看作是观测器的输出量，从而利用状态 反馈来使 xˆ 跟踪 x 。可惜的是虽然 xˆ 可以获取，而x 却无法
并将上式写 成分块形式
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x1
=
A 11
x2 A21
A12 A22
x1 x2
+
B1 B2
u
y
=
C
x1
x2
=
I qq
0
x1
x2
=
x1
或写成两个子系统的形式
整理得：
x1 = A11x1 + A12x2 + B1u x2 = A21x1 + A22x2 + B2u y = x1
= (A - MC)xˆ + My + Bu
(5)
yˆ = Cxˆ
由式(5)可看出状态观测器的系统矩阵为 (A - MC) ， 人为的改变M，可改变观测器的极点位置，从而获得所 需的观测器动态性能。
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下面具体考察影响估计误差的因素和的变化规律。式 (5)与式(2)相减得：
乎可以准确地对状态变量进行估计。
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然而，实际应用中，开环状态观测器存在着一定的问 题。首先，开环状态观测器在每次使用时，都要设置一次 初始值，这是极不方便的。其次，更重要的是，系统中总 存在着各种干扰，观测器初始状态也不可能设置的完全准 确。于是，状态估计误差就按照 x eA(tt0 )x(t0 ) 的规律变 化，如果 A 的特征值全为负实部，则 x(t)将随时间按指数
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6.1 状态观测器的基本概念
设线性时不变系统的状态方程为：
x = Ax + Bu, x(0) = x0, t 0
(1)
y = Cx
式中：x 为 n 维状态向量；u 为 p 维控制输入向量；y 为q
维输出向量。
从输出方程 y＝Cx 可以看到，如果 C 是非奇异方阵，
则 C 的逆存在，由于 C 已知，而输出变量 y 易测量，于是，
由 x＝C－1 y 即可求得状态变量。但是,一般情况下输出变量
数目少于状态变量数目,即 p<n ，这样就不能根据输出方程
来直接求得状态变量。这就迫使人们寻求别的办法来间接
的获取状态变量。
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由于被观测系统的数学模型已知，其输入和输出也 可直接测量获得，即，被观测系统的A，B，C三个矩阵 均已知，而u和y可直接获得。于是，一个很自然的想法 就是根据已知的系统数学模型，利用系统的输入和输出 信号，用数学的方法或电子模拟方法重构一个和被观测 系统具有同样数学模型的模拟系统，在模拟系统中构造 出与实际系统状态变量相近似且在物理上易于获取的状 态变量，这样，就可以用模拟系统中所构造出的状态变 量来代替实际被观测系统的状态变量。这就是状态的重 构的思想。这样附加的模拟系统就是状态观测器。即， 建立一个和式(1)一样的系统。
取得。但是原系统的输出是可以获得的，而系统的输出是系
统状态变量的线性组合，如果 xˆ 能逼近x ，则 yˆ = Cxˆ也将逼 近 y = Cx ，因此可用 y = y - yˆ = Cx - Cxˆ = Cx 替代进行状态
反馈控制。
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构成的闭环状态观测器的结构如下图所示。
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第6章 状态观测器
6.1 状态观测器的基本概念 6.2 全维闭环状态观测器 6.3 降维状态观测器 6.4 基于观测器的状态反馈系统 6.5 Kx函数观测器
第6章 状态观测器
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重点：
1. 状态观测器的基本概念 2. 全维闭环状态观测器 3. 降维状态观测器 4. 基于观测器的状态反馈系统 5. Kx函数观测器
轴越远，xˆ 逼近 x 的速度越快，但特征值离虚轴越远，系
统对外界的噪声也越敏感，超调也会增加甚至使观测器 饱和。所以特征值位置的选择应考虑被观测系统本身对 速度要求综合配置。
此定理实际上也给出了全维状态观测器的设计计算方 法。首先根据系统速度要求，确定观测器的期望特征值，
1,2, n ，进而采用极点配置算法计算 M ，使得：
x = x - xˆ = (Ax + Bu) - (Axˆ + Bu) = Ax－Axˆ＝Ax (3)
系数矩阵完全确定了 A(tt0 )x(t0 )
(4)
从式(4)来看只要在观测器中引入 xˆ (t0 ) x(t0 )，则 x(t0 ) 0 ，从而对于所有 t >t0 ，有 x(t) 0 。由此，所给的模型似
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设式(1)所示的系统完全能观测，C q×n，如果
rankC=q , 则可以找到一个线性变换: x = Px 或着
x = P-1x = Qx ，使得：
CQ＝CP1 C＝Iqq 0
(11)
其中 x1q ，从而有：
y = Iqq
0 x = Iqq
0
x1 x2
x1
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在系统综合中利用状态反馈，可实现极点配置，从而 改善系统性能；可对系统进行镇定，使不稳定系统成为稳 定；可对系统进行解耦，使相互耦合的MIMO系统变成多 个相互独立的SISO系统；在最优控制中，状态反馈还可用 来使系统某个性能指标达到最优。实现状态反馈的前提条 件是要获得系统的状态变量，但在实际中，由于设备和物 理条件的限制，状态变量往往难以直接被测量到。于是， 就需要人们设法用其它方法间接地获得系统的状态变量， 其途径之一是构建一个附加的系统来对实际系统的状态变 量进行重构。这种用来对状态变量进行重构的附加系统称 之为状态观测器或者状态估计器。
y = A11y + A12x2 + B1u
x2
=
A 22 x2
+
A21y
+
B2u
=
A 22 x2
+
A 21
B2
y u
(12)
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分别记 B A21 B2
u
=
y u
y = y - A11y - B1u
则式(12)可写成
x2 = A22x2 + Bu
（1）TA－FT=GC，T非奇异； （2）H＝TB； （3）F 的全部特征值具有负实部。
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6.3 降维状态观测器
前面的全维状态观测器是构造一个和原系统同阶的模拟 系统把被观测系统的所有状态都重构出来。然而稍加分析便 知，重构所有的状态变量是有冗余的。因为系统的输出是状 态变量的线性组合，实际上只需要通过线性变换即可从输出 变量中直接获得一部分状态变量。设系统是n阶，有q个独立 输出变量，即rankC＝q，则经过非奇异线性变换后，可直接 获得q个状态变量。于是，只需构建一个n－q阶的状态观测 器对剩下的状态变量进行估计即可，这就是降维观测器。降 维观测器不仅降低了状态观测器的维数使之在物理上更易实 现，而且通过线性变换所获得的一部分状态变量，不存在动 态跟踪过程，这部分状态变量的动态估计误差也得以减小。
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xˆ = Axˆ + Bu , xˆ(0) = xˆ 0 , t 0
(2)
yˆ = Cxˆ
式中 xˆ 是状态观测器的状态变量，也就是被观测系统状态
变量的估计量， yˆ 是状态观测器的输出。式(2)中，A,B,C,