1. 模拟滤波器的设计1.1巴特沃斯滤波器的次数根据给定的参数设计模拟滤波器，然后进行变数变换，求取数字滤波器的方法，称为滤波器的间接设计。
做为数字滤波器的设计基础的模拟滤波器，称之为原型滤波器。
这里，我们首先介绍的是最简单最基础的原型滤波器，巴特沃斯低通滤波器。
由于IIR滤波器不具有线性相位特性，因此不必考虑相位特性，直接考虑其振幅特性。
在这里，N是滤波器的次数，Ωc是截止频率。
从上式的振幅特性可以看出，这个是单调递减的函数，其振幅特性是不存在纹波的。
设计的时候，一般需要先计算跟所需要设计参数相符合的次数N。
首先，就需要先由阻带频率，计算出阻带衰减将巴特沃斯低通滤波器的振幅特性，直接带入上式，则有最后，可以解得次数N为当然，这里的N只能为正数，因此，若结果为小数，则舍弃小数，向上取整。
1.2巴特沃斯滤波器的传递函数巴特沃斯低通滤波器的传递函数，可由其振幅特性的分母多项式求得。
其分母多项式根据S解开，可以得到极点。
这里，为了方便处理，我们分为两种情况去解这个方程。
当N为偶数的时候，这里，使用了欧拉公式。
同样的，当N为奇数的时候，同样的，这里也使用了欧拉公式。
归纳以上，极点的解为上式所求得的极点，是在s平面内，在半径为Ωc的圆上等间距的点，其数量为2N个。
为了使得其IIR滤波器稳定，那么，只能选取极点在S平面左半平面的点。
选定了稳定的极点之后，其模拟滤波器的传递函数就可由下式求得。
1.3巴特沃斯滤波器的实现（C语言）首先，是次数的计算。
次数的计算，我们可以由下式求得。
其对应的C语言程序为[cpp]view plaincopy1.N = Ceil(0.5*( log10 ( pow (10, Stopband_attenuation/10) - 1) /2. log10 (Stopband/Cotoff) ));然后是极点的选择，这里由于涉及到复数的操作，我们就声明一个复数结构体就可以了。
最重要的是，极点的计算含有自然指数函数，这点对于计算机来讲，不是太方便，所以，我们将其替换为三角函数，这样的话，实部与虚部就还可以分开来计算。
其代码实现为[cpp]view plaincopy1.typedef struct2.{3.double Real_part;4.double Imag_Part;5.} COMPLEX;6.7.PLEX poles[N];9.10.for(k = 0;k <= ((2*N)-1) ; k++)11.{12.if(Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N)) < 0)13. {14. poles[count].Real_part = -Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));15.poles[count].Imag_Part= -Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));16. count++;17.if (count == N) break;18. }19.}计算出稳定的极点之后，就可以进行传递函数的计算了。
传递的函数的计算，就像下式一样这里，为了得到模拟滤波器的系数，需要将分母乘开。
很显然，这里的极点不一定是整数，或者来说，这里的乘开需要做复数运算。
其复数的乘法代码如下，[cpp]view plaincopy1.int Complex_Multiple(COMPLEX a,COMPLEX b,2.double *Res_Real,double *Res_Imag)3.4.{5. *(Res_Real) = (a.Real_part)*(b.Real_part) - (a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);6. *(Res_Imag)= (a.Imag_Part)*(b.Real_part) + (a.Real_part)*(b.Imag_Part);7.return (int)1;8.}有了乘法代码之后，我们现在简单的情况下，看看其如何计算其滤波器系数。
我们做如下假设这个时候，其传递函数为将其乘开，其大致的关系就像下图所示一样。
计算的关系一目了然，这样的话，实现就简单多了。
高阶的情况下也一样，重复这种计算就可以了。
其代码为[cpp]view plaincopy1. Res[0].Real_part = poles[0].Real_part;2. Res[0].Imag_Part= poles[0].Imag_Part;3. Res[1].Real_part = 1;4. Res[1].Imag_Part= 0;5.6.for(count_1 = 0;count_1 < N-1;count_1++)7.{8.for(count = 0;count <= count_1 + 2;count++)9. {10.if(0 == count)11.{12. Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],13. &(Res_Save[count].Real_part),14. &(Res_Save[count].Imag_Part));15. }16.else if((count_1 + 2) == count)17. {18. Res_Save[count].Real_part += Res[count - 1].Real_part;19.Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;20. }21.else22.{23. Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],24. &(Res_Save[count].Real_part),25. &(Res_Save[count].Imag_Part));26.1 Res_Save[count].Real_part += Res[count - 1].Real_part;27. Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;28.}29. }30.*(b+N) = *(a+N);到此，我们就可以得到一个模拟滤波器巴特沃斯低通滤波器了。
2.双1次z变换2.1双1次z变换的原理我们为了将模拟滤波器转换为数字滤波器的，可以用的方法很多。
这里着重说说双1次z变换。
我们希望通过双1次z变换，建立一个s平面到z平面的映射关系，将模拟滤波器转换为数字滤波器。
和之前的例子一样，我们假设有如下模拟滤波器的传递函数。
将其做拉普拉斯逆变换，可得到其时间域内的连续微分方程式，其中，x(t)表示输入，y(t)表示输出。
然后我们需要将其离散化，假设其采样周期是T，用差分方程去近似的替代微分方程，可以得到下面结果然后使用z变换，再将其化简。
可得到如下结果从而，我们可以得到了s平面到z平面的映射关系，即由于所有的高阶系统都可以视为一阶系统的并联，所以，这个映射关系在高阶系统中，也是成立的。
然后，将关系式带入上式，可得到这里，我们可以就可以得到Ω与ω的对应关系了。
这里的Ω与ω的对应关系很重要。
我们最终的目的设计的是数字滤波器，所以，设计时候给的参数必定是数字滤波器的指标。
而我们通过间接设计设计IIR滤波器时候，首先是要设计模拟滤波器，再通过变换，得到数字滤波器。
那么，我们首先需要做的，就是将数字滤波器的指标，转换为模拟滤波器的指标，基于这个指标去设计模拟滤波器。
另外，这里的采样时间T的取值很随意，为了方便计算，一般取1s就可以。
2.2双1次z变换的实现（C语言）我们设计好的巴特沃斯低通滤波器的传递函数如下所示。
我们将其进行双1次z变换，我们可以得到如下式子可以看出，我们还是需要将式子乘开，进行合并同类项，这个跟之前说的算法相差不大。
其代码为。
[cpp]view plaincopy1.for(Count = 0;Count<=N;Count++)2. {3.for(Count_Z = 0;Count_Z <= N;Count_Z++)4. {5. Res[Count_Z] = 0;6. Res_Save[Count_Z] = 0;7. }8. Res_Save [0] = 1;9.for(Count_1 = 0; Count_1 < N-Count;Count_1++)10. {11.for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)12. {13.if(Count_2 == 0) Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];14.else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))15. Res[Count_2] += -Res_Save[Count_2 - 1];16.else Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] - Res_Save[Count_2 - 1];17.for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)18.{19. Res_Save[Count_Z] = Res[Count_Z] ;20.Res[Count_Z] = 0;21.}22. }23.for(Count_1 = (N-Count); Count_1 < N;Count_1++)24. {25.for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)26. {27.if(Count_2 == 0) Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];28.else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))29. Res[Count_2] += Res_Save[Count_2 - 1];30.else31. Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] + Res_Save[Count_2 - 1];32.}33.for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)34. {35. Res_Save[Count_Z] = Res[Count_Z] ;36. Res[Count_Z] = 0;37. }38. }39.for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)40. {41. *(az+Count_Z) += pow(2,N-Count) * (*(as+Count)) *42.Res_Save[Count_Z];43. *(bz+Count_Z) += (*(bs+Count)) * Res_Save[Count_Z];44. }45. }到此，我们就已经实现了一个数字滤波器。