－算法思想： 设： {rk}是原图象的灰度级, {zk}是符合指定直方图结果图象的灰度级 我们的目标是：找到一个灰度级变换H，有： z = H(r)
－算法步骤： 1) 对{rk}、{zk}分别做直方图均衡化
为原始图像灰度分布的PDF，
2) 求G变换的逆变换 z = G-1 (v)
为希望得到的PDF。
图像灰度直方图
4.2.2 （1）直方图只包含了图像中某一灰度值的像素出现
的概率信息，而丢失了其所在位置的信息。 （2）图像与直方图之间是多对一的映射关系。
图像与直方图间的多对一关系
（3） 由于直方图是对具有相同灰度值的像素统计得到的， 因此，一幅图像各子区的直方图之和就等于该图像全图的直方 图。
4.2 直 方 图
4.2.1 基本概念
概率密度函数（Probability Density Function (PDF) ） ：设r表示图像中像素灰度级，它可看作是一个随机变 量。作归一化处理后，被限定在［0, 1］之内。假定对 每一瞬间它是连续的随机变量，那么就可以用pr(r)来 表示原始图像的灰度分布。
数字图像处理第4章直方图 和灰度变换
第四章 图像增强与平滑
4.1 背景知识 4.2 直方图 4.3 灰度变换 4.4 图像噪声 4.5 去除噪声 4.6 图像锐化 4.7 图像的伪彩色处理
图像处理中最具有吸引力的领域之一
增强的首要目标是处理图像,使其比原始图像更适合于 特定应用。其技术主要包括直方图修改处理、图像平 滑、图像锐化及彩色处理等。
钟楼图像及直方图 （a）钟楼图像；（b）钟楼图像的直方图
4.2.4
一幅给定图像的灰度级分布在0≤r≤1范围内，可以对［0, 1 ］区间内的任一个r值进行如下变换：
s=T(r)
通过上述变换，每个原始图像的像素灰度值r都对应产生一个s 值。变换函数T(r)应满足下列条件：
（1） 在0≤r≤1区间内，T(r)值单调增加； （2） 对于0≤r≤1， 有 0≤T(r)≤1。
用幂次变换进
人
的
行对比度增强
脊
椎
。相应的伽马
骨
折
值分别为0.6，
的
核
0.4和0.3 (c始终
单调递增的灰度级变换函数
由概率论理论可知，如果pr(r) 和变换函数T(r)已知，且T(r) 满足条件（1），则变换变量s的概率密度函数ps (s) 可由以下公 式得到：
由上式可见，通过变换函数T(r)可以控制图像灰度级的概率 密度函数改变图像的灰度层次。这就是直方图修改技术的理论 基础。
4.2.5 直方图均衡化处理 直方图均衡化处理是以累积分布函数变换法为基
2. 对数变换
这种变换来扩展被 压缩的高值图像中 的暗像素。频谱值 的范围从0到106或 更高的情况是常见 的。当计算机处理 像这样的无误数字 时，图像显示系统 通常不能如实地再 现如此大范围的强 度值。
3. 幂次变换
随着γ值的变化将简 单地得到一族变换 曲线。如预期的一 样，我们看到图中 γ>1的值和γ<1的 值产生的曲线有相 反的效果。用于图 像获取、打印和显 示的各种装置根据 幂次规律进行响应 。
直方图的分解
4.2.3
在离散形式下， 用rk代表离散灰度级，用pr(rk)代表pr(r)，并 且有下式成立：
式中：nk为图像中出现rk级灰度的像素数，n是图像像素总数，而 nk/n即为频数。在直角坐标系中做出rk与pr(rk)的关系图形，即称 为ena图像；（b） Lena图像的直方图
图像增强的方法分为两大类：空间域方法和频域方法 。
当图像为视觉解释而进行处理时，由观察者最后判断 特定方法的效果。图像质量的视觉评价是一种高度主 观的过程，因此，定义一个“理想图像”标准，通过这 个标准去比较算法的性能。
4.1 背景知识
“空间域增强”是指增强构成图像的像素。空 间域方法是直接对这些像素操作的过程。空 间域处理可由下式定义：
例：
原始直方图
规定化直方图
均衡化处理后的直方图数据
结果直方图数据
直 方 图 规 定 化 处 理 结 果 图
4.3 灰 度 变 换
4.3.1
图像增强常用的三 种类型函数：线性 函数（正比/反比） 、对数函数（对数/ 反对数）、幂函数 （N次幂/N次方根 ）。
1. 图像反转
该处理适用于 增强嵌入图像 暗色区域的白 色或灰色细节 ，特别是当黑 色面积占主导 地位时。
3) 根据均衡化的概念，s，v都是常量 用 s替代v有 z = G-1 (s)
2) 求G-1和T的复合变换，有： z = G-1 (T(r)) = G-1T(r) H = G-1T
－算法实现： 1）求出灰度级变换T 2）求出灰度级变换G，同时求出逆变换G-1 3）通过T和G-1求出复合变换H 4）用H对图象做灰度级变换
概率密度曲线：用直角坐标系的横轴代表 灰度级r，纵轴代表灰度级的概率密度函数 pr(r)，可作出一条曲线。这条曲线在概率 论中就是概率密度曲线。
图像灰度分布的概率密度函数
直方图 (Histogram)： 灰度直方图是灰度级的函数，它表示图像中具有某
种灰度级的像素的个数，反映了图像中每种灰度出现 的频率。灰度直方图的横坐标是灰度级，纵坐标是该 灰度级出现的频度，它是图像最基本的统计特征。
础的直方图修正法。假定变换函数为
式中：ω是积分变量， 函数。
是r的累积分布
直方图均衡化处理
当灰度级是离散值时，
式中：l是灰度级的总数目，pr(rk)是取第k级灰度值的概率，nk 是图像中出现第k级灰度的次数，n是图像中像素总数。则：
其反变换式为
直方图均衡化处理举例：书P58
经直方图均衡化后的Lena图像及直方图 （a） 经直方图均衡化后的Lena图像； （b） 均衡化后的Lena图像的直方图
直方图均衡化处理的特征： ➢ 自动化处理； ➢ 图像动态范围增加； ➢ 灰度简并现象。
4.2.6 直方图规定化处理（直方图匹配）
－算法来源背景：
• 直方图均衡化的缺陷：不能用于交互方式 的图象增强应用，因为直方图均衡化只能 产生唯一结果。
• 希望通过一个指定的函数（如高斯函数） 或用交互图形产生一个特定的直方图。