一、贝叶斯估计
贝叶斯估计是粒子滤波方法的理论基础,是一 种利用客观信息和主观信息相结合的估计方法,它 不仅考虑了样本的客观信息,还考虑了人为的主观 因素,能够很好地处理观测样本出现异常时的情况。 对于待估计的参数,贝叶斯估计在抽取样本前先给 出该参数的先验分布,并结合样本信息可以得到参 数的后验分布信息。 • 假定动态时变系统描述如下: •
X k = f k ( X k −1 , Vk −1 )
Z k = hk ( X k ,Wk )
(1)
一、贝叶斯估计
X f 式中， k 为系统状态，k 为n维向量函数， hk 为m维向 量函数， k 为n维随机过程噪声，Wk 为m维随机测 V 量噪声。 若已知状态的初始概率密度函数为 P( X 0 Z 0 ) = P( X 0 ) 则状态预测方程为: P ( xk z1:k −1 ) = ∫ P ( xk xk −1 ) P( xk −1 z1:k −1 )dxk −1 （2）
• 状态更新方程为: • P( X k Z1:k −1 ) = P( Z k X k ) P( X k Z1:k −1 )
P( Z k Z1:k −1 )
（3）
一、贝叶斯估计
• 式中归一化常量 • P( Z k Z1:k −1 ) = ∫ P( Z k X k )P( X k Z1:k −1 )dX k （4） 它取决与似然函数 P( Z k X k )及测量噪声的统计特性。
二、粒子滤波算法
• • • • • 步骤1 初始化 k = 0 i i x0 ~ P( x0 ) 即根据 P( x0 )分布采样得到 x0 , i = 1,2,...N 采样 步骤2 重要性权值计算 i i xk ~ q( xk x0:k −1 , zo:k ), i = 1,2,...N 采样 计算重要性权值如下
粒子滤波（PF）
粒了滤波是指:通过寻找一组在状态空间中传 播的随机样本对概率密度函数 P( X k Z k ) 进行近似， 以样本均值代替积分运算，从而获得状态最小方差 估计的过程，这些样本即称为“粒子”。采用数学语言 描述如下:对于平稳的随机过程，假定k一1时刻系 统的后验概率密度为 P( X k −1 Z k −1 ) ，依据一定原则 选取n个随机样本点，k时刻获得测量信息后，经过 状态和时间更新过程，n个粒了的后验概率密度可 近似为 P ( X k Z k ) 。随着粒了数日的增加，粒了的概率 密度函数逐渐逼近状态的概率密度函数，粒子滤波估 计即达到了最优贝叶斯估计的效果。
Hale Waihona Puke 二、粒子滤波算法• 粒子滤波本质就是将积分运算变为有限样本点的求和运 算, 即状态概率密度分布可用如下经验概率分布来近似表 述 •
P( x0:k z1:k
1 )= N
∑ δx (dx
i =1 i k
N
0:k
)
（5）
二、粒子滤波算法
• 式 中 z1:k = {z1 , z 2 ,...z k }，是到时刻k的测量集合， z k 是时刻k得到的测量值 ，k 是表示时刻k从概率 xi • 密度函数中得到的第i个粒子，N是粒子的总量， • δ (⋅) 是狄拉克函数。 • P( x0:k z1:k ) 表示z 观测序列下x 的概率密度。通常 z x • 情况下难以直接从 P( x0:k z1:k ) 抽样得到样本。一种 有效的解决方法就是引入一个容易抽样的已知概 率密度分布函数 q( x0:k z1:k ) 其选择是一个非常关键 的问题,选取原则之一就是使得重要性权重的方差 最小。从 q(x0:k z1:k ) 中抽取N个带权值的粒子，当
二、粒子滤波算法
• • • • • • 函数重新采样,增加权值较大的粒子数。其方法是 对后验密度的离散近似表示式（6）再进行一次采 样,生成一个新的粒子集,该粒子集构成后验密度离 散近似的一个经验分布。在采样总数仍保持为的情 况下,权值较大的样本被多次复制,从而实现重采样 , , 过程。显然,重采样过程是以牺牲计算量和鲁棒性来 降低粒子数匮乏现象。
二、粒子滤波算法
• （1）重要性函数选择 • 选取好的重要性概率密度函数可以有效抑制 退化问题,从而减小需要的粒子数目,提高运行速度。 出于降低重要性权值的方差、提高抽样效率的目 的,重要性概率密度函数应尽可能地接近系统状态 后验概率。选取重要性函数的准则是使重要性权 重的方差最小。 • （2）重采样 • 重采样算法是降低粒子匮乏现象的另一种方 • 法,其思想是通过对粒子和相应权表示的概率密度
i =1
Pk = ∑ ωki ( ~ki − xk )( ~ki − xk )T x ˆ x ˆ 方差估计:
i =1
N
二、粒子滤波算法
• 三、粒子滤波算法存在的主要问题 • 经过几次迭代,除一个粒子以外,所有的粒子 只具有微小的权值,称为退化问题。退化现象意味 着大量的计算工作都被用来更新那些对 q ( xk z1:k ) 的估计几乎没有影响的粒子上。减小这一不利影 响的首要方法是增加粒子数目。因为粒子滤波的 实质是大数定理,取足够多的样本就可以使样本均 值以概率1趋于数学期望。在实际应用中,为了获 得对后验分布更高的逼近精度,需要适当地增加粒 子个数。降低该现象影响的最有效方法是选择重 要性函数和采用重采样方法。
ωki = ωki −1
i i i P( z k xk ) P( xk xk −1 )
q( x x
i k
i 0:k −1
, z0:k )
, i = 1,2,...N
i ~ i = ωk ωk N
• 归一化重要性权值
ωki ∑
i =1
二、粒子滤波算法
• 步骤3 重采样 ~ i ωki 重新采样 xk , i = 1,2,...N 集合中根据重要性权值 • 从 i x0 , i = 1,2,...N ，并重新分 得到新的N个粒子的集合 ~ 配粒子权值 ωki = ωki = 1 N • 步骤4 输出 N i • 状态估计: ~k = ∑ ωk ~ki x x
粒子滤波
粒子滤波（PF）
粒子滤波是从上世纪90年代中后期发展起来 的一种新的滤波算法，其基本思想是用随机样本 来描述概率分布，然后在测量的基础上，通过调 节各粒子权值的大小和样本的位置，来近似实际 概率分布，并以样本的均值作为系统的估计值， 有效克服了推广卡尔曼滤波的缺点。但自身也有 一些弱点，粒子滤波的计算量较大;然而，随着计 算机处理能力的不断增强，早期限制粒子滤波应 用的硬件运算能力等障碍正逐渐消失。日前，粒 子滤波算法已被广泛用于日标跟踪、导航与制导、 故障诊断、参数估计与系统辨识等领域。
二、粒子滤波算法
• 接受到新的观测数据时,实时更新每个粒子的权值。 随着时间的增加, 重要性权值的分布变得越来越倾 斜,有可能出现粒子匮乏现象。为了避免粒子匮乏, Gordon 等提出了重采样方法, 其主要思想是去除 那些权值小的粒子,复制权值大的粒子。最后,更新 概率密度函数可以表示为 N i i • （6） P( xk z1:k ) = ∑ ωk δ ( xk − xk ) i =1 • • PF 的具体实现步骤如下: