专题讲义 等腰三角形的性质运用
夯实基础
1．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( ) A ．40° B ．100° C ．40°或70° D ．40°或100°
2. 一个等腰三角形两边长分别为20和10，则周长为（ ） A ．40 B ．50 C ．40或50 D ．不能确定
3．如图，在△ABC 中，BC ＝8，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，则△ADE 的周长等于（ ） A ．8 B ．4 C ．12 D ．16
4.如图，折叠长方形纸片ABCD ，沿对角线BD 折叠，使DC 落在DC′处，交AB 于G ， （1）求证：DG=GB （2）图中全等的三角形共有______ 对。
例题剖析
遇直角△可构“一线三垂直”模型，证全等
【例1】在平面直角坐标系中，点A (4，0)、B (0，8)，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，则点C 坐标为__________
【例2】如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，射线BC 上有一动点G ，GE ⊥AC 于E ，
GF ⊥AB 于F ，AB 上的高为CD 。
（1）当G 在BC 间运动时，求证：GE+GF=CD 。
（2）当G 运动到BC 外时，试判断出GE 、GF 、CD 间关系，并加以证明。
G
F E D
C
B
A
C '
G D C B A
【例3】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，且BD ＝CE ，连结DE 交BC 于G ，
试判断线段DG 与EG 的长度有怎样的关系，证明你的结论。
【例4】如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，点D 在AB 上，AD=AC ，BE ⊥直线CD 于E
（1）求∠BCD 的度数； （2）求证：CD=2BE ；
（3）若点O 是AB 的中点，请直接写出三条线段CB 、BD 、CO 之间的数量关系．
【例5】已知如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∠AMB=75°，∠DMC=45°，AM=MD ，求证：AB=BC 。
【例6】如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 为两动点，两动点分别从C 点和A 点出发，沿CB 和AC 方向以相同的速度运动，AD 与BE 交于F 点，试判断∠AFE 的度数是否变化，若不变，求出其值，若变化，求出其范围。
【例7】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF 。
G E
D C
B A M
C
B
D
A
F
B
E
D
A F
E D
C
B
A
课后练习：
1.如图，在∠ABA 1中，∠B ＝52°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ，在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ，……，按此做法进行下去，A 7的度数为____________度
2.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝36°，在直线AC 或BC 上取点M ，使得△MAB 为等腰三角形，符合条件的M 点有___________个
3. 如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，顶角∠A ＝20°，在AB 上取点D ，使AD ＝BC ，则∠BDC______。
4.如图所示DE 是三角形ABC 的BC 边上的两点，并且BD=DE=EC=AD=AE ，则∠BAC 的度数为________ 。
第1题图 第3题图 第4题图
5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，EF 为过点A 的任一直线， CF ⊥BC ，BE ⊥BC ，求证：AE ＝AF 。
6.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，在
BA 的延长线上取AE ＝AF ，求证：EF ⊥BC 。
7.如图，在△ABC 中，D 在AC 上，E 在AB 上，且AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝BE ，求∠A 的度数
F
E
C
B
A
F E C B A D C
B A
E
D C B A
8．已知，如图，三角形ABC 是正三角形，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE=2
1
BC ，你能找出图中所有的等腰三角形吗？试试看，并说明理由。
9．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们 定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． （1）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设
CD BE ， 相交于点O ，若60A ∠=°，1
2
DCB EBC A ∠=∠=∠．请
你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（2）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且
1
2
DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
E D
B A
B
A
D
E
C O。