F1 F2
F3
图2-4 支架受到三个向量力作用
d
F2
O (a)
F1 O
(b)
图2-5 支架受到的力矩 (a) 支架作用力不过O点(b) 支架作用力过O点
1 结构所受的作用力与运动
1.3 力矩
力矩的现象在我们的日常生活中经常呈现。当运动员飞快地骑着自行车在道路上飞奔的时
候，运动员的双脚通过自行车脚踏板、链条、链轮对自行车后车轮施加了一个力矩；当钳工用
y
Fx
F
F j
q
i
Fy
x
图2-2 力向量的直角坐标表达
1 结构所受的作用力与运动
根据图2-2，得到向量力F在坐标轴x、y的投影Fx、Fy分别为：
Fx F cosq ,
Fy F sinq
(2-2)
根据上式，可以推导出极坐标表达所需要的参量值F和q。(a)(b)图2-3 确定作用力方向
F Fx2 Fy2 ,
1.，我们需要进行向量力的合成，来描述这些向量力
的对物体的影响。以F表示各向量力的合力，此力也是向量力。图2-4表示一个支架受到三个 向量力的作用，三个力具有不同的大小与方向。这些向量力分别Fi表示(i=1,2,…,N)，则合力 F按向量力的向量代数的方法表示如下。
Fxi 0,
i
Fyi 0
i
(2-7)
当物体静止或物体仅作匀速旋转运动时， 得到一个力矩平衡式
MOi 0
i
(2-8)
式中，MOi表示第i个作用力产生的对O 点的力矩 。
FN
F3
F2
F1 (a)
F3 F4
F2
F1 (b)
图2-6 质点与刚体的作用力与力矩
(a)质点受力
(b) 刚体受力
在图中，我们还使用符号i、j分别表示沿x坐标轴、y坐标轴单位向量，分别表示向量力F 在坐标轴x坐标轴y的投影的标量力Fx、Fy的方向。为了用向量代数的公式表达向量力F，我 们把单位向量i、j与投影标量力Fx、Fy合成到一起，得到向量力矢量表达式：
F Fxi Fy j
(2-1)
除了用式2-1所示的直图2-2 力向量的直角坐标表达角
力矩的单位为Nm。
当作用力的方向发生改变，而力幅保持不变，但力矩会发生变化。如图2-5(b)所示，作用
力F2的延长线通过旋转中心O。这时，力臂d将变为0。按公式(2-6)，作用力F1对旋转中心O的
力矩将为0 Nm。因此，在计算力矩时必须同时考虑作用力方向与其幅值。
1 结构所受的作用力与运动
1.4 力与力矩的平衡
坐标表达方式外，还可以采用极坐标的向量力表达方式。 如图2-2，向量力F与坐标轴x的夹角为q，表示向量力F的 方向角为q。而向量力F的大小为向量力F的长度，我们用 向量的幅值表示，记为F=|F|，其中，符号|•|为取向量绝 对值或幅值运算符，幅值F为标量，用斜体表示。这样， 用参量幅值F和向量方向角q就可以表达向量力的大小与 方向，这种表达方式称为极坐标表达。
1 结构所受的作用力与运动
1.5 物体的运动
当物体可以简化为质点或刚体时，且其合力或合力矩不为零时，物体将发生加速运动。对 于质点来说，没有旋转运动。如图2-6，质点受到N个作用力的作用，当其合力为零时，质点 静止或作匀速运动。当其合力不为零时，质点将产生加速运动，其加速度为
aF/m
(2-9)
式中，F为质点的合力，m为质点的质量。而ma称为惯性力。当把惯性力也作为质点所受 到的力施加在质点上的作用力时，我们又可以得到力平衡式(2-7)。
扳手拧紧螺栓时，钳工通过扳手对螺栓施加了一个力矩。当一个作用在物体上的力，有使物体
发生旋转的趋势时，这个物理量成为力矩。力矩的大小与力与其力臂的大小成正比。
如图2-5(a)所示，支架受到一个作用力F1时，旋转中心O到作用力F1的垂直距离为d。那么， 支架所受到的力矩的幅值为
MO=F1d
(2-6)
式中，MO 为作用力F1对旋转中心O的力矩，F1为作用力的F1力幅。在国际单位制(SI)中，
图2-1 拖拉机的举升力
➢1 结构所受的作用力与运动 ➢2 结构所受的应力 ➢3 知识拓展 ➢4 重难点 ➢5 思考与练习 ➢6 参考文献
1 结构所受的作用力与运动
1.1 力的直角坐标与极坐标表达
我们使用粗体F表示力向量。如图2-2所示，一个向量力可以投影到x坐标轴与y坐标轴上， 所得到的标量力分别用Fx、Fy表达。
当物体静止或物体做匀速运动时，物体所受的合力应该为零。作用在刚体上的作用力，相当 于作用在同一个点上，物体简化为质点。显然，质点上各作用力产生的力矩将均为零。当物体 的尺寸对计算会产生影响时，就不能忽视物体的尺寸，此时我们把它当作刚体来处理。这时， 各作用力产生的力矩将不一定等于零。这两种情况如图2-6所示。根据运动学原理，物体静止或 物体仅作匀速直线运动时，其合力等于零，即存在一个力平衡式。投影到x坐标轴与y坐标轴， 得到两个力平衡式
N
F F1 F2 FN Fi i 1
(2-5)
向量力的合成也可向量多边形的方法，把各向量力按作用方向依次相连，最后首尾点的
连线即表示合力，在向量力多边形中，合力方向与各向量力方向相向。图2-5是图2-4支架受 力的多边形向量力合成图，图中得到的向量力F即是所求的合力，其方向与向量力F3相向。
对于刚体，但其合力矩不为零时，刚体将将加速旋转，其旋转角加速度为
q

tan1
Fy Fx

如果要直接写出向量力的极坐标表达，可用下式把标量参数 F和q合成。
(2-3)
F Fejq
(2-4)
y 50N
111.8N 26.6°
(a)
100N x
y
-50N
26.6° 111.8N
(b)
100N x
图2-3 确定作用力方向
1 结构所受的作用力与运动
机械结构的受力、运动与强度
机械工程师的职责是利用掌握的数学、物 理学理论知识完成机械结构、零件的设计，使 其能承受足够的作用力以及完成要求的运动。
本章将简要介绍力学的基本知识，如何使 结构保持静止以及运动、结构为什么会发生变 形、断裂。对于一个机械工程师来说，结构的 受力分析是结构设计的第一步。通过这个工作， 来评价结构是否安全可靠、是否可能断裂、机 器能不能驱动。如图2-1，机械工程师应对拖 拉机进行受力分析，确定设计的拖拉机铲斗能 举升多重的物体，能否达到设计要求。