由此可知，体系的自由振动由两部分组成：一部分由初位移 y 0 引
0 引起，变现为正弦规律 起，表现为余弦规律；另一部分由初速度 y
[图10-13(a)、(b)]，两者叠加为简谐振动[图10-13(c)]。
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图10-13
令
y0 A sin
（d）
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则有
0 y
A cos
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图10-8 简支梁的广义位移
3. 有限单元法 有限元法是将实际结构离散成有限个单元，对每个单元给定插
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值函数，然后叠加单元在各个相应结点的贡献建立系统求解方程。 有限单元法根据基本未知量选取的不同，分为位移有限元法、应力
有限元法和混合有限元法。其中，位移有限元方法应用最广。
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在确定结构震动自由度时，应注意不能根据结构有几个集中 质量就判定它有几个自由度，而应该由确定集中质量位置所需的独
小，如图10-2。例如打桩机的桩锤对桩的冲击、各种爆炸荷载等。
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图10-2 冲击荷载
（3）突加荷载。在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载， 如图10-3。例如吊重物的起重机突然启动时施加于钢丝绳的荷载就 是这种突加荷载。
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图10-3 突加荷载
（4）快速移动荷载。例如高速通过桥梁的列车、汽车等。
普通高等学校土木工程专业精编系列规划教材
结构力学
主编 丁克伟
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10 结构动力学
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10.1 结构动力学计算基本概念 10.2 自由度结构自由振动 10.3 简谐荷载作用下的单自由度体系受迫振动 10.4 一般荷载作用下的单自由度体系受迫振动
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§10.1 结构动力计算基本概念
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图10-17 位移时间曲线 （a）钢结构；（b）钢筋混凝土楼板
振动中的阻尼来自各个不同方面，主要分为两种：一种是外部介 质的阻力；另一种则来源于物体内部的作用。这些力统称为阻尼力。
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由于阻尼力的来源不同，且与材料特性有着密切关系，因而计算很复
杂。为了简化计算，人们提出了许多理论来近似模拟阻尼力，最为常
用的是采用福格第假定，即假定阻力与振动速度成正比，且方向与质
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点速度方向相反，这也就是我们常说的粘滞阻尼力，即
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R(t ) cy
式中
（10-13）
c称为阻尼常数，负号表示阻尼力与速度方向相反。
图10-19（a）所示为一具有阻尼的单自由度振动模型。体系的 质量为
m ，体系的弹性性质用弹簧表示，弹簧刚度为 k
10-10所示，至少需添加三个附加链杆才能使结构变为几何不变体系，
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因此，其自由度数为3。
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图10-10 复杂情况下自由度的确定 （a）三个集中质量体系；（b）加链杆确定自由度
§10.2 单自由度结构自由振动
自由振动是指结构在振动过程中不受外部干扰力作用的振动。产
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生自由振动是由于初始时刻的干扰，即通过对质量施加初位移或初速
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正弦（或余弦）规律改变大小则称为简谐周期荷载，通常也称为震动 荷载，如图10-1所示。例如具有旋转部件的机器在等速运转时其偏心 质量产生的离心力对结构的影响就是这种荷载。
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图10-1 周期荷载
（2）冲击荷载。这是指很快地把全部量值加于结构而作用时间很短
即行消失荷载，这种荷载在很短的时间内，荷载值急剧增大或急剧减
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(t ) F1 m y m 的位移为：
y(t ) F1
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即
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(t ) y (t ) m y
式中： ——立柱的柔度系数，即单位水平力 的水平位移
（10-4）

F 1 作用在柱顶
10.2.2 自由震动微分方程的解答
单自由度体系自由振动微分方程式（10- 3）可以写成
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2 y 0 y
式中：
（10-5）
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k m
2
（10-6）
式10-5为常系数线性齐次微分方程，其通解为
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y(t ) C1 cost C2 sin t
任一时刻的加速度 代入初始条件
（b）
(t ) C1 sin t C2 cost （c） y 0 y y (t ) y0 cos t sin t （10-7）

1 m
48EI m l3
例10-2 如图10-15（a）所示为一等截面竖直悬臂杆，长度为 l , 截面积为 A ，截面抗弯刚度为 EI ，杆顶有一质量为 W 的重物。 设杆件本身质量不计，试分别求水平振动和竖直振动时的自振周期。
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图10-15
解：（1）水平振动
在柱顶处加一单位水平力如图10-15（b），由图乘法可求得
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力），如图10-16（b）所示。由等截面直杆的转角位移方程可得柱顶
EI 12 剪为 h3
，
以横梁为隔离体如图10-16（c）所示，由平衡条件可得
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12EI EI k 2 3 24 3 h h
（ 2）钢架的自振频率为
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k 24EI m m h3
10.2.3有阻尼自由振动
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t
时刻
x 点的位移将它用一组位
移函数的线性和表示
ix y( x, t ) qi (t ) sin l i 1

（10-1） 如取前三项叠加，
ix y ( x, t ) qi (t ) sin l i 1
3
（10-2）
这样就将无限自由度系统简化为三个自由度的系统。
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质量集中于楼层的两个自由度体系，计算简图如图10-7（b），在 振动过程中，只要用
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y1和 y2 两个独立坐标就可以确定各质点所处
的位置，这样就把原来具有无限自由度的两层刚架简化为两个自由
度。
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2.广义位移法
对于具有连续分布质量，且比较简单的结构可采用广义位移法。
如图10-8(a)所示简支梁，设在
度而激发产生。自由振动时规律反映了体系的动力特性，而体系在动
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荷载作用下的响应情况又是与其动力特性相关的。体系的自由振动分 为有阻尼和无阻尼两种情况。
单自由度体系的振动是工程中经常遇到的实际问题之一。有时也
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可把复杂的工程问题简化为单自由度体系进行估算。因此，单自由度 体系的振动虽然比较简单，却十分重要，它是研究多自由度体系振动 的基础。
前面讨论的自由振动都是无阻尼情况下的自由振动。由于没有阻
尼，振动也就不消耗系统的振动能量，那么，振动将按照周期函数的
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规律无休止的延续下去。这是一种理想的状态，实际结构的振动总是
有阻尼的。现以一钢结构模型和一钢筋混凝土楼板在自由振动实验中
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所得位移—时间曲线的大致形状来说明阻尼，如图10-17所示。由于 阻尼的存在，使得振动过程的能量逐渐耗散，最终衰减为零。现在讨 论阻尼对结构自由振动的影响。
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立参数数目来判定。
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图10-9 两自由度体系
对于较为复杂的结构体系，可以采用集中质量处附加刚性链杆以
限制集中质量运动的办法来确定体系的自由度。首先将结构各个刚结
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点包括刚接基础改为铰接，然后添加刚性链杆使结构体系变成几何不
变体系，则所需添加的刚性链杆的最少数目就是结构的自由度。如图
。在梁的跨中处有一个集中质量块 m 。忽略梁本身的质量，
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图10-14
解：用柔度法，该梁只有竖向的一个自由度，在简支梁跨中处作用 一竖向单位力
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P 1
，作
M
图如图10-14（b）所示，由图乘法可
求出其柔度系数为：
l3 48EI
因此，由式10-12可得
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m l3 T 2 m 2 48EI
10.1.1 概述
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前面各章讨论的是结构的静力计算问题，即结构在静力荷载作用 下的内力和计算问题；现在我们进一步研究动力荷载对结构的影响。
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由于动力荷载作用产生的内力和位移，称为动内力和动位移，它
们不仅是位移的函数，也是时间的函数。动内力与动位移统称为动力 反应。学习结构动力学，就是为了确定结构的动力反应在动荷载作用
Wl st EA
所以
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st Wl T 2 2 g EIg
例10-3 图10-16（a）所示为一单层钢架，横梁抗弯刚 度 EIb ，柱的截面抗弯刚度为EI 。横梁上总质量为 柱的质量可以忽略不计。求钢架的水
图10-16
解：用刚度法。 （1）求钢架水平侧移刚度系数 k（柱顶产生单位水平位移所需的
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l 3EI
当柱顶作用水平力 W 时，柱顶的水平位移为
3
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st
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Wl 3 3EI
所以
st Wl 3 T 2 2 g 3EIg
（2）竖向振动 在柱顶
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W 处，加一竖向单位力如图10-15（c），求得
l3 EA
当柱顶作用竖向力 W 时，柱顶的竖向位移为
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（5）随机荷载。例如风力的脉动作用、波浪对码头的拍击、地震对
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建筑物的激振等。
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图10-4 随机荷载
10.1.3动力计算的自由度
在动力荷载作用下，结构体系的质量获得加速度就产生了运动，
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如果我们能够确定各质量在任意瞬时的位置，则该结构体系的变形形 状就完全被确定了。我们把确定结构体系全部质点的位置所需要的独