第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性理解函数的单调性及其几何意义．2．函数的最值理解函数的最大值、最小值及其几何意义．知识点一函数的单调性1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的2.单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．易误提醒求函数单调区间的两个注意点：(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．必记结论1．单调函数的定义有以下若干等价形式： 设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．2．复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．[自测练习]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)2．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．[－3，－2]C．(－∞，－2] D．(－∞，0)知识点二函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有f(x)≤M存在x0∈I，使得f(x0)＝M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M 存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值易误提醒在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性．必备方法求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．[自测练习]4．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是()A．(0,1) B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1]5．已知函数f(x)＝x2＋2x(－2≤x≤1且x∈Z)，则f(x)的值域是()A．[0,3]B．[－1,3]C．{0,1,3} D．{－1,0,3}考点一函数单调性的判断|1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是() A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－1x＋1D．f(x)＝－|x|给出解析式函数单调性的两种判定方法1．定义法(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)．2．导数法(基本步骤为求定义域、求导、变形、判断)．考点二函数的单调区间的求法|求下列函数的单调区间：(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．函数单调区间的四种求法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0)B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞考点三 函数单调性的应用|函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：1．求函数的值域或最值．2．比较两个函数值或两个自变量的大小． 3．解函数不等式． 4．求参数的取值范围或值． 探究一 求函数的值域或最值1．(2015·高考浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．探究二 比较两个函数值或两自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0探究三 解函数不等式3．(2015·西安一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)探究四 利用单调性求参数的取值范围4．(2015·江西新余期末质检)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1(x <1)，a x (x ≥1)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫32，2B.⎝⎛⎦⎤1，32 C ．(1,2)D ．(1，＋∞)函数单调性应用问题的四种类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．1.确定抽象函数的单调性以及解含“f ”的不等式【典例】 (12分)函数f (x )对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，有f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (2t －1)－f (1＋t )<2.[思路点拨](1)用单调性的定义证明抽象函数的单调性；(2)结合题意，将含“f”的不等式f(2t－1)－f(1＋t)<2转化为f(m)<f(n)的形式，再依据单调性转化为常规不等式求解．[模板形成]A 组 考点能力演练1．(2015·吉林二模)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |2．(2015·河南信阳期末调研)下列四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝1x 2＋1；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (x ≤0)，－1x (x >0).其中值域为R 的函数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与函数g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)∪(0,1)B ．(0,1)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)5．(2016·浦东一模)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0,1]D ．[1，3]6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，若对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则f (3)，f (－2)，f (1)的大小关系为________．7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．8．(2015·长春二模)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．9．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．10．已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．B 组 高考题型专练1．(2014·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)2．(2013·高考安徽卷)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2015·高考福建卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．4．(2015·高考湖北卷)a 为实数，函数f (x )＝|x 2－ax |在区间[0,1]上的最大值记为g (a )．当a ＝________时，g (a )的值最小．1.解析：根据函数的图象知，函数f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，故选A.答案：A2.解析：要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1>0，即x >－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数，当x >－12时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 3.解析：要使函数在R 上是增函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－1－a －5≤a ，解得－3≤a ≤－2，即a 的取值范围是[－3，－2]．答案：B4.解析：因为1＋x 2≥1,0<11＋x 2≤1，所以函数值域是(0,1]，选B.答案：B5.解析：依题意，f (－2)＝f (0)＝0，f (－1)＝－1，f (1)＝3，因此f (x )的值域是{－1,0,3}，选D.答案：D1.解析：当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.答案：C 2．判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．2.解：法一：定义法任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 法二：导数法∵g ′(x )＝－2(x －1)＋2x (x －1)2＝2(x －1)2>0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 1.[解] (1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．2.(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．解析：y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (1－x )(x ≥0)，－x (1－x )(x <0)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x ≥0)，x 2－x (x <0)＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x ≥0)，⎝⎛⎭⎫x －122－14(x <0).画出函数的草图，如图．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 答案：B1.解析：由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.答案：0 22－32.解析：∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 答案：B3.解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，且当x 1<0，x 2>0时，f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，故选D.答案：D4.解析：依题意，f (x )是在R 上的增函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a 1.解得32≤a <2，故选A.答案：A[规范解答] (1)证明：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1.(2分) 根据条件等式有f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )是R 上的增函数．(6分)(2)由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，得f (a ＋b )－f (a )＝f (b )－1， ∴f (2t －1)－f (1＋t )＝f (t －2)－1，(8分)∴f (2t －1)－f (1＋t )<2，即f (t －2)－1<2， ∴f (t －2)<3.又f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3，∴f (t －2)<3＝f (2)．(10分)∵f (x )是R 上的增函数，∴t －2<2，∴t <4，故不等式的解集为(－∞，4)．(12分)1.解析：因为定义域是R ，排除C ，又是增函数，排除A 、D ，所以选B. 答案：B2.解析：依题意，注意到y ＝3－x 与函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (x ≤0)，－1x (x >0)的值域均是R ，函数y ＝1x 2＋1的值域是(0,1]，函数y ＝x 2＋2x －10＝(x ＋1)2－11的值域是[－11，＋∞)，因此选B.答案：B3.解析：注意到f (x )＝－(x －a )2＋a 2；依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a >0，即0<a ≤1，故选D. 答案：D4.解析：作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．答案：B5.解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．答案：D6.解析：由x 1，x 2∈(0，＋∞)时，f (x 2)－(x 1)x 2－x 1<0，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 又f (－2)＝f (2)，1<2<3， ∴f (1)>f (－2)>f (3)． 即f (1)>f (2)>f (3)． 答案：f (1)>f (－2)>f (3)7.解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)8.解析：因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 答案：(－∞，1]9.解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)f (x )＝x x －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a >0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数， 又f (x )在(1，＋∞)上单调递减， ∴0<a ≤1，故实数a 的取值范围为(0,1]．10.解：(1)∵f (x )＝g (x )·h (x )＝(x ＋1)1x ＋3＝x ＋1x ＋3，∴f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)．(2)函数f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎡⎦⎤1，32， f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2.∵t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎡⎦⎤1，32，又t ∈⎣⎡⎦⎤1，32时，t ＋4t 单调递减，F (t )单调递增， ∴F (t )∈⎣⎡⎦⎤13，613.即函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤13，613.1.解析：y ＝(x －1)2仅在[1，＋∞)上为增函数，排除B ；y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，排除C ；因为y ＝log 0.5t 为减函数，t ＝x ＋1为增函数，所以y ＝log 0.5(x ＋1)为减函数，排除D ；y ＝t 和t ＝x ＋1均为增函数，所以y ＝x ＋1为增函数，故选A.答案：A2.解析：由二次函数的图象和性质知f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增，只需f (x )的图象在(0，＋∞)上与x 轴无交点，即a ＝0或1a<0，整理得a ≤0，而当a ≤0时，结合图象(图略)可知f (x )在(0，＋∞)上为增函数．故a ≤0是f (x )在(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.答案：C3.解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，所以当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3＋log a 2≥4.解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]． 答案：(1,2]4.解析：f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24，其在区间[0,1]上的最大值必在x ＝0，x ＝1，x ＝a 2处产生，即g (a )＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (0)，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫a 2＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，|1－a |，a 24＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫|1－a |，a 24，在同一坐标系中分别画出y ＝|1－a |，y ＝a 24的图象可知(图略)，在两图象的交点处，g (a )取得最小值，此时1－a ＝a 24，则a ＝22－2(－2－22舍去)． 答案：22－2。