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2018年高考全国III卷文科数学押题卷含解析

2018全国Ⅲ卷高考押题卷文科数学本试卷共23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M ={}4x x ≤,N ={}2log x y x =,则M N ⋂=( )A .[)4,+∞B .(],4-∞C .()0,4D .(]0,42. “1a =”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 3. z 为复数z 的共轭复数,i 为虚数单位,且1i z i ⋅=-,则复数z 的虚部为( )A .i -B .-1C .iD .14. 下列说法中正确的是A. 先把高三年级的2000名学生编号:1到2000,再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生,其编号为m ,然后抽取编号为 150,100,50+++m m m 的学生,这样的抽样方法是分层抽样法B. 线性回归直线a x b yˆˆˆ+=不一定过样本中心点),(y x C. 若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的值越接近于1D.若一组数据1、a 、3的平均数是2,则该组数据的方差是32 5. 已知命题p :),0(0+∞∈∃x ,使得00169x x -=,命题q : +∈∀N x ,0)1(2>-x 都有,则下列命题为真命题的是( )A.q p ∧B.q p ∨⌝)(C.()q p ⌝⌝∧)(D.())(q p ⌝⌝∨6. 若3cos()45πα-=,则s 2in α=( ) A .725 B .37 C.35- D .357. 执行如图所示的程序框图后,输出的值为4,则p 的取值范围是( )A .3748p <≤ B .516p > C .75816p ≤< D .75816p <≤8. 设0.60.3a =,0.60.5b =,3log 4c ππ=,则( )A .b a c >>B .a b c >>C .c b a >>D .c b a >>9. 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形,点G 为AF 的中点,则该几何体的外接球的表面积是( )A. 316πB. 318πC. 48164πD. 4810. 设向量(,1)a x =,(1,3)b =-,且a b ⊥,则向量3a b -与b 的夹角为( )A .6πB .3πC .23πD .6π511. 已知F 1、F 2是双曲线E:﹣=1(a >0,b >0)的左、右焦点,点M 在E 的渐近线上,且MF 1与x 轴垂直,sin ∠MF 2F 1=,则E 的离心率为( )A. B. C. D .212. 已知函数()3,02sin cos ,0x x x f x x x x ⎧+>=⎨≤⎩ ,则下列结论正确的是 ( )A .()f x 是奇函数B .()f x 是增函数C .()f x 是周期函数D .()f x 的值域为[1,)-+∞二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13. 已知实数x ,y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩的最大值为 .14. 函数f (x )=x4cos 1x 4sin +的最小正周期是 . 15. 在平面直角坐标系xOy 中,点()0,3A -,若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在一点M 满足2MA MO =,则实数a 的取值范围是__________.16.函数()f x 的定义域R 内可导,若()()2f x f x =-,且当(),1x ∈-∞时,()()1'0x f x -<,设()()10,,32a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系为 三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:60分。

17.(12分)已知等比数列{}n a 的所有项均为正数,首项14a =,且324,3,a a a 成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记1n n n b a a λ+=-,数列{}n b 的前n 项和n S ,若122n n S +=-,求实数λ的值.如图,在矩形ABCD 中,2,4,,AD AB E F ==分别为,AB AD 的中点,现将ADE ∆沿DE 折起,得四棱锥A BCDE - .(1)求证: //EF 平面ABC ;(2)若平面ADE ⊥平面BCDE ,求四面体FACE 的体积.19.(12分)《朗读者》栏目在央视一经推出就受到广大观众的喜爱,恰逢4月23日是“世界读书日”,某中学开展了诵读比赛,经过初选有7名同学进行比赛,其中4名女生A 1,A 2,A 3,A 4和3名男生B 1,B 2,B 3.若从7名同学中随机选取2名同学进行一对一比赛.(1)求男生B 1被选中的概率;(2)求这2名同学恰为一男一女的概率.20.(12分)椭圆C : +=1(a >b >0)的短轴两端点为B 1(0,﹣1)、B 2(0,1),离心率e=,点P 是椭圆C 上不在坐标轴上的任意一点,直线B 1P 和B 2P 分别与x 轴相交于M ,N 两点, (Ⅰ)求椭圆C 的方程和|OM|•|ON|的值;(Ⅱ)若点M 坐标为(1,0),过M 点的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,试求△ABN 面积的最大值.已知()()x f x e ax a R =-∈(e 为自然对数的底数).(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)若()f x 有两个零点12,x x ,(1) 求a 的取值范围;(2)在(1)的条件下,求证:122ln x x a +<.(二)选考题:共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做,则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4,坐标系与参数方程](10分)已知曲线C 1的参数方程为(t 为参数),以坐标项点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=﹣2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标系方程;(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x ﹣a|+|2x ﹣1|(a ∈R ).(Ⅰ)当a=1时,求f (x )≤2的解集;(Ⅱ)若f (x )≤|2x+1|的解集包含集合[,1],求实数a 的取值范围.数学(文史类)试卷答案及评分参考一、选择题:1.【答案】D2.【答案】A【解析】关于x 的方程有实数根,则,据此可知:“ a=1”是“关于x 的方程有实数根”的充分不必要条件. 本题选择A 选项.3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】C【解析】由三视图可知,该几何体是一个六棱锥P ABCDEF -,其底面ABCDEF 是边长为1的正六边形,有一个侧面PAF 是底边上的离为2的等腰三角形,且有侧面PAF ⊥底面ABCDEF ,设球心为O ,半径为,R O 到底面的距离为h ,底面正六边形外接球圆半径为()2221,122h h ⎛∴+=-+ ⎝⎭,解得2215481,1,16256h R h =∴=+=∴此六棱锥P ABCDEF -的外接球表面枳为481481425664ππ⨯=,故选C. 10.【答案】D11.【答案】A【解析】∵MF 1与x 轴垂直,sin ∠MF 2F 1=,∴设MF 1=m ,则MF 2=3m ,由双曲线的定义得3m ﹣m=2a ,即2m=2a ,得m=a ,在直角三角形MF 2F 1中,9m 2﹣m 2=4c 2,即8m 2=4c 2,即8a 2=4c 2,即e=,故选:A . 12.【答案】D二、填空题:13.【答案】214.【答案】【解析】函数f (x )===tan2x . ∴最小正周期T=.故答案为. 15. 【答案】[]0,3【解析】设满足2MA MO =的点的坐标为(),M x y ,由题意有:= ()2214x y +-=,即所有满足题意的点M 组成的轨迹方程是一个圆,原问题转化为圆()2214x y +-=与圆()()22:21C x a y a -+-+=有交点,据此可得关于实数a 的不等式组:13≥,解得: { 03x R x ∈≤≤,综上可得:实数a 的取值范围是[]0,3. 16.【答案】b a c <<三、解答题:(一)必考题:60分。

17.(本小题满分12分)【答案】(1)设数列{}n a 的公比为q ,由条件可知23,3,q q q 成等差数列,所以236q q q =+,解得3q =-或2q =,因为0q >,所以2q =,所以数列{}n a 的通项公式为12()n n a n N ++=∈ .(2)由(1)知,1122(2)2n n n n n n b a a λλλ++=-=-⋅=-⋅,因为122n n S +=-,所以2n n b =,所以1(2)22n n λ+-⋅=,所以32λ=. 18.(本小题满分12分)【答案】解:(1)取线段AC 的中点M ,连接,MF MB ,因为F 为AD 的中点,所以MF CD ,且12MF CD =,在折叠前,四边形ABCD 为矩形,E 为AB 的中点,所以BE CD ,且12BE CD =.MF BE ∴,且M F BE =,所以四边形BEFM 为平行四边形,故EF BM ,又EF ⊄平面,ABC BM ⊂平面ABC ,所以EF // 平面ABC .(2) 在折叠前,四边形ABCD 为矩形,2,4,AD AB E ==为AB 的中点,所以,ADE CBE ∆∆都是等腰直角三角形,且2AD AE EB BC ====,所以45DEA CEB ∠=∠=,且DE EC ==.又180,90DEA DEC CEB DEC ∠+∠+∠=∴∠=,又平面ADE ⊥平面BCDE ,平面ADE 平面,BCDE DE CE =⊂平面BCDE ,所以CE ⊥平面ADE ,即CE 为三棱锥C EFD -的高.因为F 为AD 的中点,所以111221224EFA S AD AE ∆=⨯⨯=⨯⨯=,所以四面体FACE 的体积111333EFA V S CE ∆=⨯=⨯⨯=. 19.(本小题满分12分)【答案】(1)经过初选有7名同学进行比赛,其中4名女生A 1,A 2,A 3,A 4和3名男生B 1,B 2,B 3.从7名同学中随机选取2名同学进行一对一比赛.基本事件总数n=,设事件A 表示“男生B 1被选中”,则事件A 包含的基本事件有: (A 1,B 1),(A 2,B 1),(A 3,B 1),(A 4,B 1),(B 1,B 2),(B 1,B 3),共6个,∴男生B 1被选中的概率P (A )=.(2)设事件B 表示“这2名同学恰为一男一女”,则事件B 包含的基本事件有: (A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,B 3),(A 4,B 1),(A 4,B 2),(A 4,B 3),共12个,∴这2名同学恰为一男一女的概率p=.【解析】(1)先求出基本事件总数n=,设事件A表示“男生B1被选中”,利用列举法求出事件A包含的基本事件个数,由此能求出男生B1被选中的概率.(2)设事件B表示“这2名同学恰为一男一女”,利用列举法求出事件B包含的基本事件个数,由此能求出这2名同学恰为一男一女的概率.20.(本小题满分12分)【答案】(Ⅰ)椭圆C: +=1(a>b>0)焦点在x轴上,由B1(0,﹣1)、B2(0,1),知b=1,由椭圆的离心率e==,则c2=a2,由a2﹣b2=c2,a2﹣1=a2,解得:a2=4,∴椭圆C的方程为:;设点P(x0,y0),则直线B1P方程为y=x﹣1,令y=0,得x M=,同理可得x N=,∴|OM|•|ON|=丨x M丨•丨x N丨=丨丨•丨丨==4,|OM|•|ON|=4;(Ⅱ)当点M坐标为(1,0)时,点N(4,0),丨MN丨=3,设直线AB的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),,整理得(t2+4)y2+2ty﹣3=0,则y1+y2=﹣,y1•y2=﹣,丨y1﹣y2丨===,△ABN面积S=丨MN丨•丨y1﹣y2丨=•=,∵t2≥0,则+≥+=,∴S≤,因此当t=0,即直线AB的方程为x=1时,△ABN面积的最大值是.【解析】(Ⅰ)由b=1,离心率e==,则c2=a2,由a2﹣b2=c2,代入即可求得a和b的值,求得椭圆方程,设点P (x 0,y 0),则直线B 1P 方程为y=x ﹣1,y=0,得x M =,同理可得x N =,∴|OM|•|ON|=丨x M 丨•丨x N 丨==4;(Ⅱ)设直线AB 的方程为x=ty+1,代入椭圆方程,由韦达定理求得丨y 1﹣y 2丨==,S=丨MN 丨•丨y 1﹣y 2丨=,由函数的单调性即可求得△ABN 面积的最大值.21.(本小题满分12分)【答案】(Ⅰ)()f x 的定义域为R ,()x f x e a '=-,(1)当0a ≤时,()0f x '>在R 上恒成立,∴()f x 在R 上为增函数;(2)当0a >时,令()0f x '>得ln x a >,令()0f x '<得ln x a <,∴()f x 的递增区间为(ln ,)a +∞,递减区间为(,ln )a -∞;(Ⅱ)(1)由(Ⅰ)知,当0a ≤时, ()f x 在R 上为增函数,()f x 不合题意; 当0a >时, ()f x 的递增区间为(ln ,)a +∞,递减区间为(,ln )a -∞,又(0)0f e =>,当x →+∞时,()f x →+∞,∴()f x 有两个零点12,x x ,则min ()(ln )ln (1ln )0f x f a a a a a a ==-=-<,解得a e >;(2)由(Ⅱ)(1),当a e >时,()f x 有两个零点12,x x ,且()f x 在(ln ,)a +∞上递增, 在(,ln )a -∞上递减,依题意,12()()0f x f x ==,不妨设12ln x a x <<.要证122ln x x a +<,即证122ln x a x <-,又12ln x a x <<,所以122ln ln x a x a <-<, 而()f x 在(,ln )a -∞上递减,即证12()(2ln )f x f a x >-,又12()()0f x f x ==,即证22()(2ln )f x f a x >-,(2ln x a >). 构造函数2()()(2ln )22ln (ln )x x a g x f x f a x e ax a a x a e =--=--+>,2()220xx a g x e a a e '=+->=,∴()g x 在(ln ,)a +∞单调递增, ∴()(ln )0g x g a >=,从而()(2ln )f x f a x >-,∴22()(2ln )f x f a x >-,(2ln x a >),命题成立.(二)选考题:共10分22.[选修4-4,坐标系与参数方程](10分)【答案】(1)∵曲线C 1的参数方程为(t 为参数),∴曲线C 1的直角坐标方程为(x+4)2+(y+5)2=25,∴x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴(ρcos θ+4)2+(ρsin θ+5)2=25,化简,得到C 1的极坐标方程为:ρ2+8ρcos θ+10ρsin θ+16=0.(2)将ρ=﹣2sin θ代入ρ2+8ρcos θ+10ρsin θ+16=0,化简,得:sin 2θ+sin θcos θ﹣1=0,整理,得sin (2θ﹣)=,∴2θ﹣=2k π+或=2k π+,k∈Z ,由ρ≥0,0≤θ<2π,得或,代入ρ=﹣2sin θ,得或,∴C 1与C 2交点的极坐标为(,)或(2,).【解析】(1)先求出曲线C 1的直角坐标方程,再由x=ρcos θ,y=ρsin θ,能求出到C 1的极坐标方程.(2)将ρ=﹣2sin θ代入ρ2+8ρcos θ+10ρsin θ+16=0,得sin (2θ﹣)=,由此能求出C 1与C 2交点的极坐标.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)【答案】( I )当a=1时,f (x )=|x ﹣1|+|2x ﹣1|,f (x )≤2⇒|x ﹣1|+|2x ﹣1|≤2,上述不等式可化为或或解得或或∴或或,∴原不等式的解集为.( II)∵f(x)≤|2x+1|的解集包含,∴当时,不等式f(x)≤|2x+1|恒成立,即|x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|在上恒成立,∴|x﹣a|+2x﹣1≤2x+1,即|x﹣a|≤2,∴﹣2≤x﹣a≤2,∴x﹣2≤a≤x+2在上恒成立,∴(x﹣2)max≤a≤(x+2)min,∴,所以实数a的取值范围是.【解析】( I)运用分段函数求得f(x)的解析式,由f(x)≤2,即有或或,解不等式即可得到所求解集;(Ⅱ)由题意可得当时,不等式f(x)≤|2x+1|恒成立.即有(x﹣2)max≤a ≤(x+2)min.求得不等式两边的最值,即可得到a的范围.。

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