如在例8例9中，由于系数矩阵A是严格对角 占优，由定理4立即可断定用雅可比迭代法与高斯 -赛德尔迭代法求解时，迭代过程都收敛。
4 2 2
又如矩阵
A


2
2 3
2 3 14
是对称正定阵（实对称阵是正定阵的，如果实二次型
f (x1, x2 ,L , xn ) X T AX
10 2 1 2 10 1 0 2 5
即 (500 2 54 2) 0
解得
1

0, 2

27
1729 500
, 3

27
1729 500
于是
(BG )

27 1729 500

0.1372
1
因而高斯-赛德尔迭代公式是收敛的。
上式左端为将系数矩阵 A 的对角线及对角线
以下元素同乘以 λ 后所得新矩阵的行列式。
例9 用高斯-赛德尔迭代法解方程组
10x1 2x2 x3 3 2x1 10x2 x3 15 x1 2x2 5x3 10
解：相应的高斯-赛德尔迭代公式为


x (k 1) 1
x (k 1) 2

0.2x2(k) 0.1x3(k) 0.3 0.2x1(k1) 0.1x3(k) 1.5

x3(k
1)

0.2 x1( k 1)
0.4x2(k1)
2
取迭代初值
X (0)

(
x1(
0)
,
x2(0
)
,
x (0) 3
)T
(0, 0, 0)T
按此迭代公式进行迭代，计算结果为
的特征向量，即 AX= λX, (X ≠0)
由范数的性质立即可得
X X AX
r
因为 X ≠0 ， 所以
A r
即A的任一特征值的模都不超过
A r
于是 (A) A r
定理给出了一阶线性定常迭代法 X (k1) BX (k) f
收敛的充分条件，它表明只要迭代矩阵 B 的某种子 范数 B 小于1，立即可以断定该迭代过程对任给
现将 X (k1) 显式化，由 (D L) X (k1) UX (k) b
得
X (k1) (D L)1UX (k ) (D L)1b
令
BG (D L)1U
（称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代矩阵），
fG (D L)1b
则得 X (k 1) BG X (k ) fG 为高斯-赛德尔迭代法的矩阵表示形式。
2 高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法
研究雅可比迭代法，我们发现在逐个求 X (k1)
的分量时，当计算到
xi(k 1) 时,分量
x1(k 1) ,L
, x (k 1) i 1
都已经求得，而仍用旧分量
x1(k ) ,L
,
x (k i 1
)
计算
x (k 1) i
。由于新计算出的分量比旧分量准确些，
0.2 0.4 0
BJ 0.6 1 雅可比迭代过程必收敛；
高斯-赛德尔迭代矩阵
0 BG 0
0
0.2 0.04 0.056
0.1
0.12

0.068
BG 0.3 1 高斯-赛德尔迭代过程也收敛。
由定理的误差估计式
X (k ) X * B k X (1) X (0) 1 B
是发散，都要计算雅可比迭代矩阵 BJ 与高斯-赛德尔
迭代矩阵 BG 的特征值.由于矩阵 A 有些算子范数(比
如
A与
A 1 )远比矩阵 A 的特征值容易计算,为此给
出如下结论。
定理3 矩阵A的谱半径不超过矩阵A的任何
一种算子范数 , 即
(A)
A r
证明：设λ为A的任一特征值，X为对应于λ的A
k 1, 2,3,L
可以看出， B 越小收敛速度越快，
且可用来估计迭代次数。
在例8例9中，显然 BG 比 BJ 小， 所以高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛速度快。
若在例8例9中要求近似解 X (k) 的误差
X (k) X * 104
则由误差估计式知，只要 k 满足
Bk
r
初始向量都收敛于方程组AX=b的唯一解 X * 在例8例9中，我们分别用雅可比迭代法和高斯-
赛德尔迭代法解方程组
10x1 2x2 x3 3 2x1 10x2 x3 15 x1 2x2 5x3 10
雅可比迭代矩阵
0 0.2 0.1 BJ 0.2 0 0.1

a x (k1) i,i1 i1

a x (k) i,i1 i1
L
ain xn(k) bi )
L L


xn(
k
1)

1 ann
(an1 x1( k 1)

a x (k1) n2 2
L

a x (k1) n,n1 n1

bn
)
（5）
其矩阵表示形式为 X (k1) D1(LX (k1) UX (k) b)
X (1) X (0) 104
1 B

将 BJ 0.6, X (0) (0,0,0)T , X (1) (0.3000,1.5000, 2.0000)T
代入得 k 21.18 ，故Jacobi迭代22次即可；
将 BG 0.3, X (0) (0,0,0)T , X (1) (0.3000,1.5600, 2.68400)T 代入得 k 8.76 ，故Gauss-Seidel迭代9次就可以。
由定理2知，用雅可比迭代法求解，迭代过程收 敛，用高斯-赛德尔迭代法求解，迭代过程发散。
练习:考察用高斯-赛德尔迭代法解方程组 AX=b 的收敛性，其中
1 0 1
A 1 1
0

1 2 3
3 迭代法收敛条件与误差估计 我们先引入一个叫矩阵谱半径的概念。
定义 矩阵 A Rnn 的所有特征值 i (i 1, 2,L , n)
的模的最大值称为矩阵 A 的谱半径,记作 ( A)
即
( A)

max
1in
i
前面,我们在应用雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭 代法解一阶线性方程组时，判断各迭代公式是收敛还
因此设想一旦新分量
x1(k 1) ,L
, x (k 1) i 1
求出，马上就用新分量
x1(k 1) ,L
, x (k 1) i 1
代替雅可比迭代法中
来求 x1( k ) ,L
,
x (k ) i 1
x (k 1) i
, 这就是高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法。
高斯-赛德尔迭代公式如下：

x1(k
1)


1 a11
(a12 x2(k)

a13 x3( k )
L

a1n
x (k) n

b1)

x2(k
1)


1 a11
(a21 x1( k 1)

a23
x3(k
)
L
a2n xn(k) b2 )
L L


xi
(
k
1)


1 aii
(ai1x1(k1) ai2 x2(k1) L
正定),由定理5可判定用高斯-赛德尔迭代法求解方程组
AX b
时，迭代过程一定收敛。
例10 考察用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法 解方程组 AX=b 的收敛性，其中
1 2 2 1
A 1 1
1

,
b

1
2 2 1 1
解：先计算迭代矩阵
0 2 2
对于雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法，还 有一些使用方便的充分条件，其中主要有：
定理4 若方程组AX=b的系数矩阵 A [aij ]nn
按行严格对角占优或按列严格对角占优，即满足条件
n
aii aij
(i 1, 2,L , n)
j 1 ji
n
或 a jj aij
( j 1, 2,L , n)
i 1 i j
则方程组AX=b有唯一解，且对任意初始向量 X (0)
雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法都收敛。
定理5 若方程组 AX=b 的系数矩阵 A [aij ]nn 为对称正定矩阵。则对任意初始向量 X (0) 高斯 -赛德尔迭代法都收敛。
只要方程组 AX=b 的系数矩阵 A [aij ]nn 满足 定理4或定理5的条件，就可以十分方便地判断相 应迭代过程的收敛性。
BJ

D1(L U )


1
0
1
2 2 0
再计算
0 2 2 BG (D L)1U 0 2 3
0 0 2
BJ与BG的特征值和谱半径
i (BJ ) 0, (i 1, 2,3), (BJ ) 0 1
1(BG ) 0, 2,3 (BG ) 2, (BG ) 2 1
我们用定理2来判断高斯-赛德尔迭代公式是否
收敛，需要考虑高斯-赛德尔迭代矩阵 BG (D L)1U
的特征方程 I BG 0
即
I (D L)1U 0
将上式写成 (D L)1 (D L) U 0
由于
(D L)1 0
所以
(D L) U 0