βj
βj −βj
S
βj
=
βj −βj
e′e c jj n − k −1
t (n − k − 1)
t 检验
在变量显著性检验中，针对 设计的原假设和备择 Xj 假设为：
H0 : β j = 0
给定一个显著性水平α，得到临界值 根据： t > t (n − k − 1)拒绝原假设H
α
0 2
H1：β j ≠ 0
n −1 R = 1 − (1 − R ) n − k −1
2 2
2.方程总体线性的显著性检验（F检验）
方程显著性F检验的模型：
Yi = β 0 + β1 X 1i + β 2 X 2i + ... + β k X ki + u i
检验参数 βk 是否显著为零。 按照假设检验的原理和程序，原假设与备择假 设：
F > Fα (k , n − k − 1)拒绝原假设H 0 F ≤ Fα (k , n − k − 1)接受原假设H 0
拟合优度与F检验关系1
不同点 1.拟合优度：从已经估计的模型出发，检验它对 样本观测值得拟合程度 2.F检验：从样本观测值出发检验模型总体的线 性关系的显著性。 联系 模型对样本的观测值拟合程度高，模型总体线 性关系的显著性就强
多元线性回归模型的统计检验
1、拟合优度检验 2、方程总体线性的显著性检验（F检验） 3、变量的显著性检验（t检验）
1.拟合优度检验
可决系数与调整可决系数 总离差平方和TSS,回归平方和ESS，残差平方和 RSS
TSS = ∑ Yi − Y
(
)
2
ESS = ∑ Y i − Y
拟合优度与F检验关系2
两个统计量之间的关系式：
n −1 R = 1− n − k − 1 − kF
2
或者
F= R (1 − R )
2 2
k
(n − k − 1)
变量的显著性检验（ t 检验）
多元线性回归模型，方程的总体线性关系式显 著的，并不能说明每个解释变量对被解释变量 的影响都是显著的。因此必须对每个解释变量 进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被 保留在模型中。
t 统计量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
参数估计量的方差：
Cov( β ) = σ 2 ( X ′X ) −1
c jj表示矩阵 XX)−1主对角线上的第j个元素。 ( ′ 2 2 σ 是随机干扰项的方差，实际计算中用 σ 代
替。 β j 服从正态分布如下：
N ( β j , σ 2 c jj )
t=
Var ( β j ) = σ 2 c jj
2
RSS = ∑ Yi − Yi
2
TSS = RSS + ESS
可决系数
回归平方和占总离差的比重即是衡量样本回归 线对样本观测值得拟合程度。
ESS RSS R = = 1− TSS TSS
2
R 越接近1，模型的拟合程度越高
2
可决系数的问题
在实际应用中发现，如果模型中每增加一个解 释变量， 2 往往随之增大。 R 原因：残差平方和往往随着解释变量个数的增 加和减少，至少不会增加。 因此，在多元回归模型之家比较拟合优度， 2 R 不是一个合适的指标。
H 0:：β1 =0，β 2 =0，...,β k =0 H1 : β j ( j = 1, 2,..., k )不全为零
F检验
在原假设H0:成立的条件下，统计量：
F = E SS R SS k ( n − k − 1)
服从自由度（k,n-k-1）的F分布。 给定显著性水平α，比较 Fα与F值大小：
tα
2
t ≤ tα (n − k − 1)接受原假设H 0
2
注意
没有绝对的显著性水平。关键仍然是考察经济 变量在经济关系上是否对解释变量有影响，显 著性检验起到验证的作用。同时还要看显著性 水平不太高的变量在模型中及模型应用中的作 用，不要简单剔除变量！！
可调整的可决系数
思路：在样本容量一定的情况下，增加解释变 量必定使得自由度减少，所以要将残差平方和 与总离差平方和分别除以各自的自由度，剔除 变量个数对拟合优度的影响。公式如下：
(n − k − 1) R = 1− TSS (n − 1)
2
RSS
可决系数与调整可决系数的关系
经过计算转化后可决系数与调整后的可决系数 之间的关系：