振动图像与波的图像及多解问题专题振动图像与波的图像及多解问题一、振动图象和波的图象振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象．简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦）曲线形状，但二图象是有本质区别的．见表：振动图象波动图象研究对象一振动质点沿波传播方向所有质点研究内容一质点的位移随时间的变化规律某时刻所有质点的空间分布规律图线物理意义表示一质点在各时刻的位移表示某时刻各质点的位移图线变化随时间推移图延续，但已有形状不变随时间推移，图象沿传播方向平移一完整曲线占横坐标距离表示一个周期表示一个波长例题精选：例题1：如图6—27所示，甲为某一波动在t=1．0s时的图象，乙为参与该波动的P质点的振动图象（1）说出两图中AA/的意义？（2）说出甲图中OA/B图线的意义？（3）求该波速v=？（4）在甲图中画出再经3．5s时的波形图（5）求再经过3．5s时p质点的路程S和位移解析：（1）甲图中AA/表示A质点的振幅或1．0s时A 质点的位移大小为0．2m，方向为负．乙图中AA/’表示P质点的振幅，也是P质点在0．25s的位移大小为0．2m，方向为负．（2）甲图中OA/B段图线表示O 到B之间所有质点在1．0s时的位移、方向均为负．由乙图看出P质点在1．0s时向一y方向振动，由带动法可知甲图中波向左传播，则OA/间各质点正向远离平衡位置方向振动，A/B间各质点正向靠近平衡位置方向振动．（3）甲图得波长λ＝4 m，乙图得周期T＝1s 所以波速v=λ/T=4m/s（4）用平移法：Δx＝v·Δt＝14 m＝（3十½）λ所以只需将波形向x轴负向平移½λ=2m即可，如图6——28所示（5）求路程：因为n=2/T t =7，所以路程S=2An=2×0·2×7=2。
8m求位移：由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时．位移不变·所以只需考查从图示时刻，p质点经T/2时的位移即可，所以经3．5s质点P的位移仍为零．例题2：如图所示，（1）为某一波在t＝0时刻的波形图，（2）为参与该波动的P点的振动图象，则下列判断正确的是A．该列波的波速度为4m／s ；B．若P点的坐标为x p＝2m，则该列波沿x轴正方向传播C．该列波的频率可能为2 Hz；D．若P点的坐标为x p＝4 m，则该列波沿x轴负方向传播；解析：由波动图象和振动图象可知该列波的波长λ=4m，周期T＝1．0s，所以波速v＝λ／T＝4m／s．由P质点的振动图象说明在t=0后，P点是沿y轴的负方向运动：若P点的坐标为x p＝2m，则说明波是沿x轴负方向传播的；若P点的坐标为x p＝4 m，则说明波是沿x轴的正方向传播的．该列波周期由质点的振动图象被唯一地确定，频率也就唯一地被确定为f＝l ／t＝0Hz．综上所述，只有A选项正确．点评：当一列波某一时刻的波动图象已知时，它的波长和振幅就被唯一地确定，当其媒质中某质点的振动图象已知时，这列波的周期也就被唯一地确定，所以本题中的波长λ、周期T、波速v均是唯一的．由于质点P 的坐标位置没有唯一地确定，所以由其振动图象可知P 点在t＝0后的运动方向，再由波动图象确定波的传播方向二、波动图象的多解波动图象的多解涉及：(1)波的空间的周期性；(2)波的时间的周期性；(3)波的双向性；(4)介质中两质点间距离与波长关系未定；(5)介质中质点的振动方向未定．1．波的空间的周期性沿波的传播方向，在x轴上任取一点P（x)，如图所示，P点的振动完全重复波源O的振动，只是时间上比O点要落后Δt，且Δt =x/v=xT0/λ.在同一波线上，凡坐标与P点坐标x之差为波长整数倍的许多质点，在同一时刻t的位移都与坐标为λ的质点的振动位移相同，其振动速度、加速度也与之相同，或者说它们的振动“相貌”完全相同．因此，在同一波线上，某一振动“相貌”势必会不断重复出现，这就是机械波的空间的周期性．空间周期性说明，相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同．2．波的时间的周期性在x 轴上同一个给定的质点，在t+nT 时刻的振动情况与它在t 时刻的振动情况（位移、速度、加速度等）相同．因此，在t 时刻的波形，在t+nT 时刻会多次重复出现．这就是机械波的时间的周期性．波的时间的周期性，表明波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波的图象相同．①传播距离：x n x ∆+=λ0②传播时间：t nT t ∆+= ③传播速度：t nT x n t x v ∆+∆+==λ0④质点振动路程：s nA s ∆+=43．波的双向性双向性是指波沿正负方向传播时，若正、负两方向的传播时间之和等于周期的整数倍，则沿正负两方向传播的某一时刻波形相同．4．介质中两质点间的距离与波长关系未定在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定，就会形成多解，解题时若不能联想到所有可能情况，易出现漏解．5．介质中质点的振动方向未定在波的传播过程中，质点振动方向与传播方向联系，若某一质点振动方向未确定，则波的传播方向有两种，这样形成多解．说明：波的对称性：波源的振动要带动它左、右相邻介质点的振动，波要向左、右两方向传播．对称性是指波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同．5．已知波速v和波形，画出再经t∆时间波形图的方法⑴平移法：先算出经t∆时间波传播的距离t v x∆⋅=∆，再把波形沿波的传播方向平移x∆即可。
因为波动图象的重复性，若已知波长λ，则波形平移n个λ时波形不变。
当x=∆λx+n 时，可采取去整留零的方法，只需移x即可。
⑵特殊点法：在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向，再看t∆。
由于经nT波形不变，所以也是去整留零，=t+nT分别做出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律画出新波形。
6．已知振幅A和周期T，求振动质点在t∆时间内的路程和位移求振动物体在t∆时间内的路程和位移，由于涉及质点的初始状态，需用正弦函数较复杂。
特殊情况下如T/2或T时，则比较容易求。
当质点的初始位移为x0时，经T/2的奇数倍时x=-x0，经T/2的偶数倍时，x=x0。
振动质点无论从哪个位置开始计时，在一个周期内通过的路程为4A，半个周期内通过的路程为2A，但不能说四分之一周期内通过的路程为A。
这与振子的计时位置有关。
例题3：一列在x轴上传播的简谐波，在x l= 10cm和x2=110cm处的两个质点的振动图象如图所示，则质点振动的周期为s，这列简谐波的波长为cm．【解析】由两质点振动图象直接读出质点振动周期为4s．由于没有说明波的传播方向，本题就有两种可能性：（1）波沿x轴的正方向传播．在t＝0时，x1在正最大位移处，x2在平衡位置并向y轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性，也就x2一x1＝（n十1/4）λ，λ=400/（1十4n）cm（2）波沿x轴负方向传播．在t＝0时．x1在正最大位移处，x 2在平衡位置并向y轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性……，x2一x1＝（n十3/4）λ，λ=400／（3＋4n）cm点评：由于波在媒质中传播具有周期性的特点，其波形图每经过一个周期将重复出现以前的波形图，所以由媒质中的质点的振动图象确定波长的值就不是唯一的（若要是唯一的，就得有两个前提：一个是确定波传播方向；一个是确定波长的范围）．例题4：如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过0.2s 时的波形图象。
求：①波传播的可能距离 ②可能的周期（频率）③可能的波速 ④若波速是35m/s ，求波的传播方向⑤若0.2s 小于一个周期时，传播的距离、周期（频率）、波速。
解析：①题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：向左传播或向右传播。
向左传播时，传播的距离为x =n λ+3λ/4=（4n +3）m （n=0、1、2 …）向右传播时，传播的距离为x =n λ+λ/4=（4n+1）m （n=0、1、2 …）②向左传播时，传播的时间为t =nT +3T /4得：T =4t /（4n +3）=0.8 /（4n +3）（n=0、1、2 …）向右传播时，传播的时间为t =nT +T /4得：T =4t /（4n +1）=0.8 /（4n +1） （n=0、1、2 …）③计算波速，有两种方法。
v =x /t 或v =λ/T向左传播时，v =x /t =（4n +3）/0.2=（20n +15）m/s. 或v =4 x /my 0λ/T =4 （4n +3）/0.8=（20n +15）m/s.（n =0、1、2 …） 向右传播时，v =x /t =（4n +1）/0.2=（20n +5）m/s. 或v =λ/T =4 （4n +1）/0.8=（20n +5）m/s. （n =0、1、2 …） ④若波速是35m/s ，则波在0.2s 内传播的距离为x =vt =35×0.2m=7m=143λ，所以波向左传播。
⑤若0.2s 小于一个周期，说明波在0.2s 内传播的距离小于一个波长。
则：向左传播时，传播的距离x =3λ/4=3m ；传播的时间t =3T /4得：周期T =0.267s ；波速v =15m/s.向右传播时，传播的距离为λ/4=1m ；传播的时间t =T /4得：周期T =0.8s ；波速v =5m/s.点评：做此类问题的选择题时，可用答案代入检验法。
例题5：如图所示，一列简谐横波在t 1时刻的波形，如图甲所示，质点P 在该时刻的振动速度为v ，t 2时刻质点P 的振动速度与t 1时刻的速度大小相等，方向相同；t 3时刻质点P 的速度与t 1时刻的速度大小相等，方向相反．若t 2－t 1＝t 3—t 2＝0．2秒，求这列波的传播速度．解析：从振动模型分析，若质点P 从t 1时刻开始向平衡位置方向振动，在一个周期内，从t 1时刻到t 2时刻，从t 2时刻到t 3时刻，对应的振动图象如图乙所示．考虑到振动的周期性，则有： t 2—t 1＝（n ＋1／4）T n ＝0，1，2……周期为：T=（t 2一t 1）／（n 十1/4） n ＝0，1，2…… 由公式：v ＝λ／T 得出速度v 的通解为： v ＝20（n ＋l ／4） n=0，1，2……方向向左． 若质点 P 从 t 1时刻开始背离平衡位置方向振动，在一个周期内，从t 1时刻到t2时刻，从t 2时刻到t 3时刻，对应的振动图象如图丙所示．考虑到振动的周期性，则有： t 2—t 1＝（n ＋3／4）T n ＝0，1，2…… 周期为：T=（t 2一t 1）／（n 十3/4） n ＝0，1，2…… 由公式：v ＝λ／T 得出速度v 的通解为： v ＝20（n ＋3／4） n=0，1，2……方向向右．答案：v ＝20（n ＋l ／4）（n ＝0，1，2……） 方向向左．或v ＝ 20（ n ＋ 3／4）（ n ＝ 0，1，2，……）方向向右例题6：已知在t 1时刻简谐横波的波形如图中实线所示；在时刻t 2该波的波形如图中虚线所示。