考点26 椭圆的基本量.2、掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程 .3、掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 . 了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法 .4、会运用统一定义转化到椭圆上的点到焦点距离和到相应准线距离 .高考在椭圆部分的考查主要体现在椭圆的标准方程与几何性质，主要考点椭圆的标准方程、几何意义，特别是离心率的问题，考查的形式有填空题、选择题和解答题的第一问。

椭圆的试题,在填空题中主要考查椭圆的离心率、椭圆的定义及统一定义的应用,在解答题中,主要考查直线与椭圆的综合问题,这类问题的解法是:由直线方程与椭圆的方程联立成方程组,求出交点后,再来进一步地研究问题,这类问题主要围绕着椭圆的方程、椭圆的几何性质以及直线与椭圆相交时产生的弦长等研究来展开,一般来说,难度都不大,属于中档题 .在复习中也要提别注意求椭圆的离心率等性质。

1、【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b2、【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是A ．3B ．3C ．23D ．593、【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13 D ．144、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y +=5、【2020年山东卷】.已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线6、【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．7、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.8、【2020年全国3卷】.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．题型一 椭圆的方程与离心率1、（北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三第一学期12月月考）△ABC 的两个顶点坐标A （-4，0），B （4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是 ( ) A ．B ．（y ≠0）C ．D ．（y ≠0）2、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点A是椭圆上位于x 轴上方的一点，若直线1AF 42，且112AF F F =，则椭圆的离心率为________．3、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221x y C a b+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为22C上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____．两年模拟.4、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测）设A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆C 过点P(2，1)，当线段AB 长最小时椭圆C 的离心率为_______.5、（2020年 1月北京中学生标准学术能力诊断性测试）已知F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，P 是C 上的任意一点，则FP 称为椭圆C 的焦半径.设C 的左顶点与上顶点分别为A ，B ，若存在以A 为圆心，FP 为半径长的圆经过点B ，则椭圆C 的离心率的最小值为________.6、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，则椭圆离心率的取值范围是___________. 7、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）已知方程22(1)(9)1k x k y -+-=，若该方程表示椭圆方程，则k 的取值范围是_______；8、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>恰有一个公共点P ，l 与圆222x y a +=相交于,A B 两点.（I ）求k 与m 的关系式；（II ）点Q 与点P 关于坐标原点O 对称.若当12k =-时，QAB ∆的面积取到最大值2a ，求椭圆的离心率.题型二、椭圆中的点坐标1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,F F 是椭圆222:1(02)4x y C m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y 是C 上一点，且满足12PF F ∆的面积为3,则0||x 的取值范围是____.2、(2019泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q.已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．3、(2019苏州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．4、(2016徐州、连云港、宿迁三检）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为4.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若点M ，N 是椭圆C 上的两点，且四边形POMN 是平行四边形，求点M ，N 的坐标．答案解析三年高考真题1、【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =， 故选B.2、【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是A ．3B ．3C ．23D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率e =，故选B ． 3、【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13 D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以212||2||PF F F c ==，由AP 2tan PAF ∠=所以2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠， 所以4a c =，14e =，故选D ． 4、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3n =．22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5、【2020年山东卷】.已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则C nC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=- D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD.6、【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）， 又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得3,22P ⎛-⎝⎭，所以212PF k ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-， 从而可求得3152P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PF k ==7、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 【答案】(15【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△， 又12220148241544152MF F S y =⨯-=∴=△015y =， 2201513620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M 的坐标为(15．8、【2020年全国3卷】.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<15，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】（1）222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =，b m =， 根据离心率22154115c b m e a a ⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-， ①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：155522⨯=；②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,8)Q ，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ 的距离为：()2283111405185185811d⨯--⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ=++-=，∴APQ面积为：1518522185⨯⨯=，综上所述，APQ面积为：52.二年模拟试题题型一椭圆的方程与离心率1、（北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三第一学期12月月考）△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( )A．B．（y≠0）C．D．（y≠0）【答案】D【解析】所以定点的轨迹为以A,B为焦点的椭圆，去掉A,B,C共线的情况，即，选D.2、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点A是椭圆上位于x 轴上方的一点，若直线1AF 的斜率为427，且112AF F F =，则椭圆的离心率为________．【答案】35． 【解析】设12AF F θ∠=，由直线1AF 的斜率为427，知sin 42tan cos 7θθθ==，且22sin cos 1θθ+=，即得7cos 9θ=， 由1122AF F F c ==及椭圆定义知21222AF a AF a c =-=-， 由余弦定理即可得，22221121122cos AF AF F F AF F F θ=+-，即()()()()()222722222229a c c c c c -=+-，化简得()2249a c c -=，故22222253220518909549a ac c c ac e c a e e -+=⇒-+=⇒-+=⇒=或3（舍）即35e =．故答案为：353、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221x y C a b+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为22C上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____．【答案】12【解析】作点B关于原点的对称点B1，可得S21'BOF B OFS=，则有11275ABySS y==，所以175A By y=-．将直线AB1方程24x c=-，代入椭圆方程后，2222241x y cx ya b⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理可得：（b2+8a2）y2﹣2b2cy+8b4＝0，由韦达定理解得1242A Bb cy y+=142288A Bby yb a-=+，三式联立，可解得离心率12cea==．故答案为：12．.4、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测）设A，B分别为椭圆C：22221x ya b+=(a＞b ＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆C过点P(2，1)，当线段AB长最小时椭圆C的离心率为_______.2【解析】因为A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，所以(,0)A a ，(0,)B b ， 又椭圆C 过点(2,1)P ， 所以22411a b+=，所以3====AB ，当且仅当22224a b b a=，即222a b =时，取等号，此时222a c =，所以离心率为2===c e a .故答案为25、（2020年 1月北京中学生标准学术能力诊断性测试）已知F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，P 是C 上的任意一点，则FP 称为椭圆C 的焦半径.设C 的左顶点与上顶点分别为A ，B ，若存在以A 为圆心，FP 为半径长的圆经过点B ，则椭圆C 的离心率的最小值为________.【解析】根据题意，存在以A 为圆心，FP 为半径长的圆经过点B ，即FP 的最大值应该不小于线段AB的长，可得a c +≥，化简得22220a c ac --≥，即22210e e +-≥，且01e <<，解得112e ≤<，所以椭圆C 的离心率的最小值为12． 6、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，则椭圆离心率的取值范围是___________.【答案】0,3⎛ ⎝⎭【解析】由题意可设()0,B b ，(),0F c ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =， 可得F 为ABC ∆的重心，设()11,A x y ，()22,C x y ， 由重心坐标公式可得，1203x x c ++=，120y y b ++=， 即有AC 的中点(),M x y ，可得12322x x c x +==，1222y y by +==-， 由题意可得点M 在椭圆内，可得2291144c a +<，由c e a =，可得213e <，即有03e <<.故答案为：⎛ ⎝⎭. 7、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）已知方程22(1)(9)1k x k y -+-=，若该方程表示椭圆方程，则k 的取值范围是_______； 【答案】15k <<或59k << 【解析】因为方程22(1)(9)1k x k y -+-=，所以22111(1)(9)x y k k +=--，所以有10(1)10(9)11(1)(9)k k k k ⎧>⎪-⎪⎪>⎨-⎪⎪≠⎪--⎩即15k <<或59k <<故答案为：15k <<或59k <<8、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知直线:l y kx m=+与椭圆22221(0)x ya ba b+=>>恰有一个公共点P，l与圆222x y a+=相交于,A B两点.（I）求k与m的关系式；（II）点Q与点P关于坐标原点O对称.若当12k=-时，QAB∆的面积取到最大值2a，求椭圆的离心率. 【答案】（Ⅰ）2222m a k b=+（II）104e=【解析】（I）由2222,1y kx mx ya b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()2222222220a kb x a kmx a m b+++-=，则()()()22222222240a km a kb a m b∆=-+-=化简整理，得2222m a k b=+；（Ⅱ）因点Q与点P关于坐标原点O对称，故QAB∆的面积是OAB∆的面积的两倍.所以当12k=-时，OAB∆的面积取到最大值22a，此时OA OB⊥，从而原点O到直线l的距离2d=，又21mdk=+22212m ak=+.再由（I），得2222212a kb ak+=+，则22221bka=-.又12k =-，故2222114b k a =-=，即2238b a =，从而22222518c b e a a ==-=，即104e =. 题型二、椭圆中的点坐标1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,F F 是椭圆222:1(02)4x y C m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y 是C 上一点，且满足12PF F ∆的面积为3,则0||x 的取值范围是____. 【答案】[]0,1 【解析】依题意，21224F F m =⨯-，所以122012432PF F S m y ∆=⨯⨯-⨯=，则0234y m=-，而2200214x y m +=，所以2200224124144y x m m m ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭.由于02m <<，204m <<，根据二次函数的性质可知：()(]22424240,4m m m -=--+∈，所以241234m m -≤--，所以22412414x m m =-≤-，解得[]00,1x ∈.故答案为：[]0,12、(2019泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q.已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．思路分析 (1)根据题意，建立关于a ，c 的方程组，求出a ，c 的值，进而确定b 的值，得到椭圆的s 标准方程．(2)设出点B 的坐标为(m ，n)，用m ，n 表示x 0，然后再减元转化为关于m 的一元函数求求其值域．也可以设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，得到点B 和P 的坐标，进而求得直线BQ 和PQ 的方程，由两直线方程联立求得交点Q 的横坐标x 0，根据函数的值域求得x 0的取值范围． 规范解答 (1) 由题意得c a ＝12，a 2c ＋a ＝6，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(4分) (2) 解法1设B(m ，n)，则m 24＋n 23＝1.因为A(－2，0)，AB ⊥BQ ，所以直线BQ 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m)＋n ，因为P 是AB 的中点，所以P(m －22，n 2)，所以直线OP 的方程为y ＝n m －2x ，联立直线BQ ，OP 的方程得－m ＋2n (x －m)＋n ＝n m －2x ，(8分)解得x 0＝（m －2）（m 2＋2m ＋n 2）m 2－4＋n 2，由m 24＋n 23＝1得n 2＝－34(m 2－4)，代入上式化简得x 0＝m ＋6，(14分) 因为－2<m<2，所以4<x 0<8.(16分)解法2 设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，k ≠0.将y ＝k(x ＋2)代入椭圆方程x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x B ＝－8k 2＋64k 2＋3，所以y B ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋64k 2＋3＋2＝12k 4k 2＋3， 则直线BQ 的方程为y －12k 4k 2＋3＝－1k (x －－8k 2＋64k 2＋3)，因为P 是AB 的中点，则x P ＝x A ＋x B 2＝－2＋－8k 2＋64k 2＋32＝－8k 24k 2＋3，y P ＝12y B ＝6k4k 2＋3，所以直线OP 的斜率为6k4k 2＋3－8k 24k 2＋3＝－34k ，则直线OP 的方程为y ＝－34k x ，(8分)联立直OP ，BQ 的方程得x 0＝16k 2＋244k 2＋3＝4＋124k 2＋3，(14分)因为4k 2＋3>3，所以0<124k 2＋3<4，4<4＋124k 2＋3<8，即4<x 0<8.(16分)解后反思 直线和椭圆相交求范围(最值)问题，第(2)问解法1设出关键点B 的坐标(m ，n)，建立关于点中参数m ，n 的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决；解法2通常设出直线的方程，并与椭圆方程联立，进而转化关于x 或y 的一元二次方程，通过根与系数关系，运用设而不求的思想，得到点的坐标，建立关于线中参数m 的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决. 这两种解法都较常见. 解法1参量多一点，但运用得当，也很方便，这里解法1在建立目标函数后就显得很简单，解法2参量少目标集中．3、(2019苏州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，半焦距为c ，因为椭圆的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，又因为A 到右准线的距离为6，所以a ＋a 2c ＝3a ＝6，(2分)解得a ＝2，c ＝1，(4分) 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2) 直线AB 的方程为y ＝32(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝32（x ＋2），x 24＋y23＝1，得x 2＋3x ＋2＝0，解得x ＝－2或x ＝－1.则B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，32.(9分) 由题意，右焦点F(1，0)，所以直线BF 方程为y ＝－34(x －1)，(11分)由⎩⎨⎧y ＝32（x ＋2），x 24＋y23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137，(13分)所以，点M 坐标为⎝⎛⎭⎫137，－914.(14分) 4、(2016徐州、连云港、宿迁三检）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)上，P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为4.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若点M ，N 是椭圆C 上的两点，且四边形POMN 是平行四边形，求点M ，N 的坐标．. 规范解答 (1)由题意知，1a 2＋94b2＝1,2a ＝4. (2分)解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (4分)(2) 解法1 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则ON 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，y 22，PM 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 12，32＋y 12. 因为四边形POMN 是平行四边形，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 12＝x22，32＋y 12＝y 22.)即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2－1，y 1＝y 2－32.)(6分) 由点M ，N 是椭圆C 上的两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 22＋4y 22＝12，3(x 2－1)2＋4⎝⎛⎭⎫y 2－322＝12.)(8分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0)或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝32.) (12分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，)得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝－32.)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝32，)得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝0.) 所以点M ⎝⎛⎭⎫1，－32，点N(2,0)；或点M(－2,0)， 点N ⎝⎛⎭⎫－1，32.(14分) 解法2 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，因为四边形POMN 是平行四边形，所以ON →＝OP →＋OM →，所以(x 2，y 2)＝⎝⎛⎭⎫1，32＋(x 1，y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1＋x 1，y 2＝32＋y 1，(6分) 由点M ，N 是椭圆C 上的两点，所以(8分)用②－①得x 1＋2y 1＋2＝0，即x 1＝－2－2y 1，代入(1)中得3(－2－2y 1)2＋4y 21＝12，整理得2y 21＋3y 1＝0，所以y 1＝0或y 1＝－32，于是⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝－32，(12分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝32.由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝－32，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0.) 所以点M ⎝⎛⎭⎫1，－32，点N(2,0)；或点M(－2,0)， 点N ⎝⎛⎭⎫－1，32.(14分) 解法3 因为四边形POMN 是平行四边形，所以OP →＝MN →，因为点P ⎝⎛⎭⎫1，32，所以|MN|＝|OP|＝1＋94＝132，且k MN ＝k OP ＝32，(6分)设直线MN 方程为y ＝32x ＋m(m ≠0)，联立⎩⎨⎧y ＝32x ＋m ，x 24＋y23＝1，)得3x 2＋3mx ＋m 2－3＝0，(*)所以Δ＝(3m)2－4×3(m 2－3)>0，即m 2－12<0，从而m ∈(－23，0)∪(0,23)，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－33，(8分)且|MN|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝132·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝132·m 2－4(m 2－3)3＝132·4－13m 2，又知|MN|＝132，所以132·4－13m 2＝132，整理得m 2－9＝0，所以m ＝3或m ＝－3.(12分)当m ＝3时，(*)可化为3x 2＋9x ＋6＝0，即x 2＋3x ＋2＝0，故x ＝－1或x ＝－2，代入直线MN ：y ＝32x ＋3得两交点M(－2,0)，N ⎝⎛⎭⎫－1，32； 当m ＝－3时，(*)可化为3x 2－9x ＋6＝0，即x 2－3x ＋2＝0，故x ＝1或x ＝2，代入直线MN ：y ＝32x －3得两交点M ⎝⎛⎭⎫1，－32，N(2,0)， 所以点M ⎝⎛⎭⎫1，－32，点N(2,0)；或点M(－2,0)， 点N ⎝⎛⎭⎫－1，32.(14分)。