含数学分析和高等代数两门课数 学 分 析（I ）（1）集合与函数实数概述，绝对值不等式，区间与邻域，有界集，确界原理，函数概念。

（2）数列极限数列。

数列极限的N -∑定义。

收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。

子列。

数列极限存在的条件；单调有限定理、柯西收敛原理。

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11、STOLZ 定理。

（3）函数极限函数极限概念（x x x →∞→与。

瞬时函数的极限。

δ-∑定义、M -∑定义）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。

函数极限存在的条件：归结原则、柯西准则。

两个重要极限：1sin lim ,)11(lim 0==+→∞→xx e x x x x 无穷小量与无穷大量及其阶的比较。

（4）函数的连续性函数在一点的连续性。

单侧连续性。

间断点及其分类。

在区间上连续的函数。

连续函数的局部性质：有界性、保号性、连续函数的有理运算、复合函数的连续性。

闭区间上连续函数的性质：有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。

初等函数的连续性。

（5）极限与连续性（续）实数完备性的基本定理：区间套定理、数列的柯西收敛准则、聚点原理、致密性定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。

闭区间上连续函数性质的说明。

实数系。

压缩映射原理。

（6）导数与微分引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。

导数的定义。

单侧导数。

导函数。

导数的几何意义。

和、积、商的导数。

反函数的导数。

复合函数的导数。

初等函数的导数。

微分概念。

微分的几何意义。

微分的运算法则。

一阶微分形式的不变性。

微分在近似计算中的应用。

高阶导数与高阶微分。

由参量方程所表示的曲线的斜率。

（7）中值定理与导数的应用费马(Fermat)定理。

罗尔（Rolle）中值定理。

拉格朗日（Lagrange）中值定理。

柯西中值定理。

泰勒（Taylor）定理（Taylor公式及其拉格朗日型余项、皮亚诺余项）、泰勒公式的某些应用。

函数的单调性的判别法。

极值。

最大值与最小值。

函数的凸性。

拐点。

渐近点。

函数图象的讨论。

数学分析（II）（8）不定积分原函数与不定积分概念。

基本积分表。

线性运算法则。

换元积分法。

分部积分法。

有理函数的积分。

三角函数有理式的积分。

若干初等可积函数。

（9）定积分引入问题（曲边梯形面积与变力作功）。

定积分定义。

定积分的几何意义。

可积的必要条件。

上下和及其性质。

可积主要条件。

几乎处处连续函数。

可积函数类：在闭区间上连续函数、在闭区间上只有有限个间断点的有界函数、单调有界函数。

定积分性质：线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理、第二积分中值定理。

微积分基本定理。

牛顿—莱布尼兹公式。

换元积分法。

分部积分法。

近似求积。

用活动上限定积分定义对数函数，并导出对数函数和指数函数的基本性质。

（10）定积分的应用简单平面图形面积。

曲线的弧长与弧微分。

曲率。

已知截面面积函数的立体体积。

旋转体体积与侧面积。

平均值。

物理应用（压力、功、静力矩与重心等）。

（11）反常积分无穷限反常积分的概念。

柯西准则。

线性运算法则。

绝对收敛。

反常积分与数项级数的关系。

无穷限反常积分收敛性判别法。

无界函数反常积分概念。

两种反常积分的联系。

无界函数反常积分收敛性的判别法。

（12）数项级数级数收敛与和的定义。

柯西准则。

收敛级数的基本性质。

正项级数。

比较原则。

比式判别法与根式判别法。

拉贝判别法。

一般项级数的绝对收敛与条件收敛。

交错级数。

莱布尼兹判别法。

阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

阿贝尔求和。

绝对收敛级数的性质（重排定理。

级数的乘积）。

Mertens定理。

（13）函数列与函数项级数函数列与函数列级数的收敛与一致收敛的概念。

一致收敛的柯西准则。

函数项级数的维尔斯特拉斯优级数判别法。

阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

函数列极限函数与函数项级数的和函数的连续性。

逐项积分与逐项微分。

（14）幂级数阿贝尔第一定理。

收敛半径与收敛区间。

一致收敛性。

和函数的连续性。

逐项积分与逐项微分。

幂级数的四则运算。

泰勒级数。

泰勒展开的条件。

初等函数的泰勒展开。

近似计算。

用多项式逼近连续函数（可放在下章中讲）。

（15）傅里叶级数三角级数。

三角级数的正交性。

傅里叶级数。

贝塞尔不等式。

黎曼—勒贝格定理。

傅里叶级数的部分和公式。

按段光滑且以2为周期的函数展开为傅里叶级数的收敛定理。

奇函数与偶函数的傅里叶级数。

以2L为周期的函数的傅里叶级数。

一致收敛定理。

傅里叶级数的逐项积分。

局部性定理。

Dini判别法与Jordan判别法。

数学分析（III）(1)N 维Euclid空间中点集的有关性质点列的极限，内点、外点和孤立点；开集和闭集；列紧集和紧致集；连通集；点集的基本定理(2) 多元函数的连续性1．多元函数的极限2．多元连续函数和连续映射(3)函数微分学1．方向导数、偏导数2．多元函数及映射的微分，链式法则3．隐函数定理、隐映射定理，逆映射定理4．Taylor公式，极值与条件极值5．曲面的显式方程、隐式方程和参数方程(4) 多元函数积分学1．多重积分，包括：可积条件，可积函数类，重积分的计算2．重积分的应用3．第一型曲线积分4．第二型曲线积分，Green公式及其各种形式5．曲面的面积和第一型曲面积分6．第二型曲面积分，Gauss公式和Stokes公式及其各种形式7．场论，包括：积分与路径无关的条件，数量场的梯度，向量场的散度和旋度，有势场和势函数(5) 含参变量积分1．含参量常义积分2．含参量广义积分，包括：含参量广义积分的一致收敛性及其性质3．Γ函数和B函数高等代数一、线性方程组1．线性方程组的基本概念与问题2．线性方程组的求解—行列式Cramer法则3．排列4．n-级行列式5．n-级行列式的性质6．行列式按行列展开7．行列式Cramer法则8．n-级行列式的计算常用方法二、线性方程组的求解—消元法1．消元法与矩阵2．n-维向量空间3．线性相关性4．矩阵的秩5．矩阵的秩与行列式的关系6．矩阵的秩的计算7．线性方程组有解的判定定理8．线性方程组界的结构三、矩阵理论1．矩阵的基本运算2．矩阵行列式的乘积公式与秩3．矩阵的逆4．初等变换与初等矩阵5．分块矩阵于广义初等变换6．矩阵的其他技巧例题与习题四、二次型理论1．利用配方法化二次型为标准型2．利用初等变换法化二次型为标准型3．二次型的规范性4．惯性定理5．二次型的分类问题-正定二次型五、线性空间理论1．线性空间的定义2．线性空间的数量特征基、维数、坐标3．线性子空间4．线性子空间的运算-交空间和和空间5．线性子空间的直和6．线性子空间的同构7．典型例题讲解六、多项式1．数域重因式2．一元多项式3．整除的概念4．公因式与最大公因子5．因式分解定理6．重因式7．多项式函数8．复系数与实系数多项式的因式分解9．有理系数多项式10．本节典型问题与例题七、线性变换理论1．线性变换的定义2．线性变换的运算3．线性变换的矩阵4．特征值与特征向量5．相似矩阵6．线性变换的值域与核7．不变子空间8．Jordan标准型9．最小多项式八、λ-矩阵1．λ-矩阵的初等变换和标准型2．λ-矩阵的行列式因子，不变因子，初等因子 3．Jordan-矩阵理论的进一步推导九、欧氏空间1．内积与欧氏空间2．标准正交积3．同构4．正交变换与正交矩阵5．对称矩阵的对角化6．酉空间上与酉变换。