圆的知识在生活中的应用及问题解析问题1.如图把一块直径为a 的圆形桌布铺在一张对角线为a 的正方形桌面上,若桌布的四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度为_______。
解析：本质是已知圆的直径，求其内接正方形外四个弓形的高。
设正方形为ABCD ，对角线交点O 。
O 也是圆的圆心。
过O 做平行于AD 的半径，交CD 于H ，交圆于F 。
HF 的长度即为所求。
Rt △ABD 中AB=AD=22a ，易求OH=12AD=24a ，又OF=OD=2a∴HF=OF-OH=2a -24a =224a .问题2.如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 cm 。
解析：本题考查了圆锥的有关计算，圆锥的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，圆锥的侧面展开在平面上，是一个扇形，计算圆锥侧面积时，通过求侧面展开图面积求得，侧面积公式是底面周长与母线乘积的一半，先求扇形的弧长，再求圆锥底面圆的半径，弧长：=4π，圆锥底面圆的半径：r==2（cm）．解答：解：弧长：=4π，圆锥底面圆的半径：r==2（cm）．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．问题3.小明不慎把家、里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是________。
解析分析：要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小。
也可利用“三点确定一个圆”。
解答：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．故填②．点评：解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．问题4.北京市一居民小区计划将小区内的一块平行四边形ABCD场地进行绿化，如图阴影部分为绿化地，以A，B，C，D为圆心且半径均为3m的四个扇形的半径等于图中⊙O的直径，已测得AB=6m，则绿化地的面积为______m2。
解答：由题意可知，以A，B，C，D为圆心的四个扇形的和为一半径为3m的圆，可得圆的面积=9πm2；⊙O的直径为3m，则⊙O的面积=94πm2．则绿化地的面积=9π+94π=454πm2。
点评：此题主要考查圆的面积的计算，求得以A，B，C，D为圆心的四个扇形的圆心角和为360°是关键问题5.如图，某博物馆有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监控器多少台？解析：65°是圆周角,说明对应的圆心角（即监控器监控的对面边缘弧的度数）是130°,要想覆盖到360°,至少需要3个,因此需要3盏。
问题6.有一木质圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔，现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定D点的位置，并分别说明理由（图中点O为圆心）解析:方法一：如图①，作TH的垂线L交TH于点D,点D就是TH的中点。
依据是垂径定理。
方法二：如图②，分别过点T、H作HC⊥TO，TE⊥HO，HC与TE相交于点F,过点O、F作直线L交HT于点D，点D就是HT的中点。
由作图可知，Rt△HOC≌Rt△TOE,易得HF=TF。
又OH=OT,所以点O、F在HT的中垂线上，所以HD=TD。
方法三：如图③，（原理同方法二）问题7.用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）。
将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求。
图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径。
解析：连结OA、OE，设，如图∴四边形ACDB是矩形PA=8 PE=6在Ｒt△OAP中，由勾股定理得即解得OA=10答：这种铁球的直径为20cm。
问题8.（1）如图①所示是一个半径32，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB′A′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB′的长）；（2）如图②所示是一个底面半径为2y，母线长为1的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程；（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．问题探究：（1）如图①所示是一个半径为32，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB′A′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB′的长）；（2）如图②所示是一个底面半径为2y，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程；（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．问题9.小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．解答：（1）如图，⊙O即为所求作的花园的位置．（2）∵∠BAC=90°，∴BC是直径．∵AB=8米，AC=6米，∴BC=10米∴△ABC外接圆的半径为5米（5分）∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．（6分）问题10.在白须岩上有一灯塔P，在它周围3海里内有暗礁．第二天，有一艘轮船由南向北航行，在A处测得灯塔P在北偏西15°方向上，20分钟后，轮船在B处测得灯塔P在北偏西30°方向上，若轮船仍按12海里/时的速度继续向北航行，有无触礁的危险？解析：根据题意，可画出所示的示意图，则AB=12×=4(海里)，过点P作PC⊥AB，垂足为C，由题中分别在A点、B点测得的方位角可知∠PAB=15°，∠PBC=30°，所以∠APB=∠PBC-∠PAB=30°-15°=15°，所以∠PAB=∠APB，所以PB=AB=4(海里)．在Rt△BPC中，因为∠PBC =30°，所以PC =PB =×4=2(海里)＜3(海里)．也就是说，C点距灯塔P只有2海里，而灯塔P周围3海里内有暗礁，所以该船继续向北航行有触礁的危险．问题11.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,根据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心正以15千米/时的速度沿北偏东30度方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称受台风影响。
（1）该城市是否会受到台风的影响？请说明理由。
（2）若受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解析：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，AB=220，∴AD=12AB=110，∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，BA C∴受台风影响范围的半径为20×（12-4）=160． ∵110＜160，∴该城市会受到这次台风的影响．（2）如图以A 为圆心，160为半径作⊙A 交BC 于E 、F ．则AE=AF=160．∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DE=222160110 =6015 ∴台风影响该市的持续时间t=6015÷15=415（小时）．（3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（110÷20）=6.5（级）．问题12.公路MN 与小路PQ 在点P 处交汇，角QPN=30度，点A 处有一所学校，AP=160m ，假设拖拉机行驶时，周围100m 内受噪声影响，那么拖拉机在公路M N 上沿PN 方向行驶时，学校是否受到噪音影响?请说明问题。
如果学校受到影响，已知拖拉机速度为18km/h,那么学校受到影响的时间有多长？解析：作AB ⊥MN,垂足为B.在Rt ΔABP 中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°,AP=160, ∴ AB=AP=80.（在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半）∵点A 到直线MN 的距离小于100m,∴这所中学会受到噪声的影响.如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC=100(m),由勾股定理得：BC2=1002-802=3600,∴BC=60.同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD=100(m),BD=60(m),∴CD=120(m).拖拉机行驶的速度为: 18km/h=5m/st=120m÷5m/s=24s.问题13.一个钟面上分针长6厘米从上午1时到下午8时分针尖端走了____厘米。
解析：从上午8点到下午1点，共5个小时，所以分针走了5周，5×2×π×6=60π厘米。
问题14.某钟面上的分针长是5厘米，从2时到3时，分针扫过的面积是_____平方厘米．解析：从2时到3时钟面上的分针走一圈，扫过的面积是一个圆的面积，分针长5厘米即分针扫过的圆半径为5厘米。
解答：S=πR2=π×52=25π（平方厘米）；答：分针扫过的面积是25π平方厘米。
问题15.如图，把Rt△ABC 的斜边AB放在直线L上，按顺时针方向转动两次，使它转到△A''B''C''的位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到A'的位置时：（1）点A经过的路线有多长？（2）点A经过的路线与直线l所围成的面积是多少？问题16.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O所经过的路线长是_______米。