量子力学试题（一）及答案一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。

（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xa n a x n n ma E n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1） 首先，将()0,x ψ归一化。

由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为1312=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-= 能量的取值几率为()()()133 ;134 ;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。

（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。

二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00,0.0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。

解：对于02<-=V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-===x B x kx A x x αψψψexp sin 0321其中，E m V E m k 2 ;)(20=+=α在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()()a a a a '3'232ψψψψ==得到()()a B ka Ak a B ka A ααα--=-=ex p cos ex p sin于是有αkka -=tan此即能量满足的超越方程。

当021V E -=时，由于1tan 000-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛mV mV a mV故40ππ-=n a mV， ,3,2,1=n最后，得到势阱的宽度0 41mV n a π⎪⎭⎫ ⎝⎛-=三.（20分）设厄米特算符Hˆ的本征矢为n ，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符()nm n m U ϕϕ=,ˆ （1） 计算对易子()[]n m U H,ˆ,ˆ； （2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；（3） 计算迹(){}n m U,ˆTr ； （4） 若算符A ˆ的矩阵元为nm mn A A ϕˆ=，证明 ()n m UA A nm mn ,ˆˆ,∑= (){}q p U A A pq ,ˆˆTr += 解：（1）对于任意一个态矢ψ，有()[]()()()()()()ψψψψϕϕψϕϕψψψn m UE E n m U E n m U E H H H n m U n m U Hn m U Hn m n m n m n m ,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ-=-=-=-=故()[]()()n m U E E n m U H n m ,ˆ,ˆ,ˆ-= （2）()()()p m U q p U n m U nq q p n m ,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ== （3）算符的迹为(){}()mnm n k n km kkkk n m U n m U δϕϕϕϕϕϕϕ====∑∑,ˆ,ˆTr（4）算符()n m UA A A A nm mn nn m nm m m mm ,ˆˆˆˆ,,∑∑∑===ϕϕϕϕϕϕ而()(){}q p U Aq p U A A A A A kkk kk p q kqk kk p q p pq ,ˆˆTr ,ˆˆˆˆˆ++=====∑∑∑ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 四. （20分）自旋为21、固有磁矩为s γμ=（其中γ为实常数）的粒子，处 于均匀外磁场k 0 B B =中，设0=t 时，粒子处于2=x s 的状态，（1） 求出0>t 时的波函数；（2） 求出0>t 时x sˆ与z s ˆ的可测值及相应的取值几率。

解：体系的哈密顿算符为z z z B sB B H σωσγγμˆˆ2 ˆ ˆ00≡-=-=⋅-= 在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为-=-=+==2211 , ,ϕωϕωE E在0=t 时，粒子处于2=z s 的状态，即 ()x +=0ψ而x σˆ满足的本征方程为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a λ0110 解之得[][]--+=--++=+2121xx由于，哈密顿算符不显含时间，故0>t 时刻的波函数为()-⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E t E t 21i ex p 21i ex p 21ψ （2）因为[]0ˆ,ˆ=z s H，所以z s 是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计算0=t 时z s 的取值几率就知道了0>t 时z s 的取值几率。

由于210,2=⎪⎭⎫ ⎝⎛= z s W ；210,2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-= z s W故有0=z s而x s 的取值几率为()()t B t E t E t E t E t t s W xx 2cos i exp i exp 21i exp i exp 21,2022212212γψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛= t B t s W x 2sin ,202γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=五. （20分） 类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为()rZe r V 2-=（Ze 为核电荷）当核电荷变为()e Z 1+时，相互作用能增加re W2ˆ-=，试用微扰论计算它对能量的一级修正，并与严格解比较。

解：已知类氢离子的能量本征解为nlml n n a n e Z E E r nnlm 1,202220++=-==式中，220ea μ =为玻尔半径。

能量的一级修正为()nl rnl e nlm Wnlm E n 1ˆ21-== 由维里定理知V T 21-=总能量nl rnl Ze V V T E n 12212-==+= 所以，得到 (),3,2,1 ,2102221=-==-=n a n Ze Z E nl r nl e E n n微扰论近似到一级的能量为02202222a n Ze a n e Z E n --≈而严格解为02202202220222222)1(a n e a n Ze a n e Z a n e Z E n ---=+-=量子力学试题（二）及答案一、（20分）在0=t时刻，氢原子处于状态⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ψ)(21)(31)(21)0,(321r r r C rψψψ 式中，)(r nψ为氢原子的第n 个能量本征态。

计算0=t 时能量的取值几率与平均值，写出0>t时的波函数。

解：氢原子的本征解为22412 ne E nμ-=()()()ϕθψ,Y lm nl nlm r R r =其中，量子数的取值范围是,3,2,1=n ；1,,2,1,0-=n l ，l l l l m ,1,,1,-+--=由波函数归一化条件可知归一化常数为2321312121=⎪⎭⎫⎝⎛++=-C 不为零的能量取值几率为()()8331==E W E W ；()412=E W 能量平均值为242423148 234141911832 41)(83 e e E E E E μμ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++=当0>t时，波函数为()()()()⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ψt E r t E r t E r t r 332211i exp 83i exp 21i exp 83, ψψψ二、 （20分）设粒子处于一维势阱之中⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00,0,)(0 式中，00>V 。

导出能量本征值满足的超越方程，进而求出使得体系至少存在一个束缚态的0V 值。

解：对于0<E的情况，三个区域中的波函数分别为()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+==x B x kx A x x αψδψψexp sin 0321 其中，E m V E m k 2 ;)(20=+=α利用波函数再0=x 处的连接条件知，πδn =， ,2,1,0=n在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件()()()()a a a a '3'232ψψψψ== 得到()()()()a B n ka Ak a B n ka A ααπαπ--=+-=+ex p cos ex p sin于是有αkka -=tan此即能量满足的超越方程。

由于，余切值是负数，所以，角度ka 在第2、4象限。

超越方程也可以改写成()ak kaka 0sin =式中，002V k μ=因为，()1sin ≤ka ，所以，若要上式有解，必须要求ka a k ≥0当2π=ka 时，()1sin =ka ，于是，有2200πμ≥=V a a k整理之，得到2220 8aV μπ ≥ 三、（20分）在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。

解：在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为22221ˆ21ˆx m p m Hω+= 在动量表象中，该哈密顿算符为22222222d d 2121d d i 2121ˆp m p m x m p m H ωω-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 由于动量的本征函数为()'p p -δ，故哈密顿算符的矩阵元为()()()()()'''2''2222''''22222'd d 2121d d d 2121'''p p p m p m p p p p m p m p p H p p -⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰∞∞-δωδωδ四、（20分）设两个自旋为21非全同粒子构成的体系，哈密顿量21ˆˆˆs s C H ⋅=， 其中，C 为常数，1ˆs 与2ˆs 分别是粒子1和粒子2的自旋算符。