称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点； (2)晶面上格点分布具有周期性； (3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同； (4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。
同一个格子，两组不同的晶面族
2.晶面指数
晶面方位
晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角) 晶面在三个坐标轴上的截距
C EB
cD
b aF GA
密勒指数是(210) 的晶面是ABCD面；
密勒指数是 (121) 的晶面是EFG面；
§1.4 倒格子 —— 晶格具有周期性，一些物理量具有周期性 势能函数 势能函数是以
为周期的三维周期函数
1.4.1倒格与傅里叶变换
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
r Rl r
可以证明：r,s,t必是一组有理数---阿羽依的有理数定理。
设a1,a2 ,a3的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、
h3d的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数 。
(1)所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必
有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 a1,a2,a3 末端上的格点 也一定落在该晶面族的晶面上；
倒格 倒格基矢 b1,b2 ,b3 倒格（点位）矢：
Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
K n h1b1 h2b2 h3b3
1.4.1 倒格定义
倒格基矢定义为：
b1 2π a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2
Ω
其中 a1 , a2 , a3 是正格基矢，
(1)基矢a1,a2,a3 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3
等份；
(2)以 a1 ,a2 ,a3为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴
上的截距倒数的互质比；
(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。
设
末端上的格点分别落在离原点的距离
的晶面上
—— 整数 —— 晶面间距
—— 最靠近原点的晶面 在坐标轴上的截距
§1.3 晶向、晶面和它们的标志
1.3.1 晶向及晶向指数
1.晶向 通过晶格中任意两个格点 连一条直线称为晶列，晶列的 取向称为晶向，描写晶向的一 组数称为晶向指数(或晶列指数 )。 过一格点可以有无数晶列。
(1)平行晶列组成晶列族，晶列 族包含所有的格点；
(2)晶列上格点分布是周期性的； (3)晶列族中的每一晶列上， 格点分布都是相同的；
取a1 ,a2 ,a3为天然长度单位得：
O a1
A1
cosa1 , n : cosa2 , n : cosa3 , n h1 : h2 : h3
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
又
cosa1 , n :
cosa2 , n :
cosa3 , n
1 r
:
1 s
:
1 t
h1
: h2
: h3
记为[ l1l2l3]， [l1l2l3 ]即为该晶列的晶列指数。
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示 l1 1, l2 2, l3 1
(2)以布拉维原胞基矢表示
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R ma nb p c a ,b ,c 为布拉维原胞基矢
其中 m,n, p 为有理数,将 m,n, p化为互质的整数 m,n,p,
1 r
:
1 s
:1 t
h1
: h2
: h3
1 : 1 :1 r st
因为h1、h2、h3为整数，所以r、s、t必为有理数。
任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数。
可以证明h1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族的 面指数，记为(h1h2h3 ) 。
综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；
晶列一共有6个不同的晶向，由于
晶格的对称性，这6个晶向并没有[100]
什么区别，晶体在这些方向上的
[001] [010] [100]
性质是完全相同的，统称这些方 向为等效晶向，写成<100>。
[010] [001]
1.3.2 晶面及密勒指数
1.晶面
在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，
Ωa1
Ω*
2π 3
a2
a3
Ω
Ω
a1
2π3
Ω
4.倒格矢 K h h1b1 h2 b2 h3 b3 与正格中晶面族(h1h2h3)
正交，且其长度为 2π 。
d h1h2h3
(1)证明 K h h1b1 h2 b2 h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
(2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原
点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。
a1 n h1d a2 n h2d
a1 cos a1,n h1d a2 cos a2,n h2d
X n d
A3
Nn
a3 n h3d
a3 cos a3,n h3d a 3 d
a2
A2
—— 同族中其它晶面的截距是
的整数倍
的倒数是晶面族中最靠近原点的晶面的截距
晶面指数 —— 标记这个晶面系
以布拉维原胞基矢 a, b,c 为坐
标轴来表示的晶面指数称为密勒
指数，用(hkl)表示。
立方晶格的几种主要晶面标记
例2：如图所示 abc ，I和H
分别为BC，EF之中点，试求晶面
AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密
(4)在同一平面内，相邻晶列间的 距离相等。
晶列的特点
2.晶向指数
(1) 用固体物理学原胞基矢表示
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R l1a1 l2 a2 l3 a3 a1,a 2 ,a 3 为固体物理学原胞基矢
其中
l1,
l
2
,
l
3
为整数，将
l1,
l
2
,
l
3
化为互质的整数
l1 , l2 , l3 ，
记为[mnp]，[mnp]即为该晶列的晶列指数.
例1：如图在立方体中，a i,b j,c k
E
D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。 A
解： OB i , OE i j k,
BE OE OB j k
晶列BE的晶列指数为：[011]
c
b
Oa
C
D B
求AD的晶列指数。
E
OA k , OD i 1 j , 2
2π
a1 b2 a1 2π a3 a1 Ω
0
2. Rl K h 2π (为整数)
其中Rl和K h分别为正格点位矢和倒格点位矢。
Rl l1 a1 l2 a 2 l3 a 3 K h h1 b1 h2 b2 h3 b3
Rl K h (l1 a1 l2 a 2 l3 a 3 ) (h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) 2π( l1h1 l2h2 l3h3 )
a2
a1
b1
a2 a3 2π
2π
Ω
d1
b2 2π d2
b1
2π b3
d3
一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方
向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的
2倍。
1.4.2 倒格与正格的关系
1. ai b j 2π ij 2π ( i j )
0 i j
a1 b1 a1 2π a 2 a 3 Ω
1 1:1: 1 21 (120)
AEG 的密勒指数是(111)； OEFG的密勒指数是(001)； DIHG的密勒指数是(120)。
D
C
A
BI
c bG
Oa
F
EH
例3: 在立方晶系中画出(210)、 Nhomakorabea121) 晶面。
晶面在三个坐标轴上的截距分别为：
a (210) 1
2
bc 1
(121) 1
1
1
2
Rl 是正格矢。
上式两边分别按傅里叶级数展开：
r (K h) eiKhr
h
r Rl
K ei K h rRl h
h
K h Rl 2π
K h 一定是倒格矢。
§1.4 倒格
晶体结构=晶格+基元
一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。
正格 正格基矢 a1 , a 2 , a 3 正格（点位）矢：
Ω a1 a2 a3
是固体物理学原胞体积
与 K n h1b1 h2b2 h3b3 (h1, h2, h3为整数)所联系的各点
的列阵即为倒格。
倒格基矢的方向和长度如何呢？
b1 2π a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω
b3 2π a1 a2 Ω
b3 ab3 2
ABC在基矢
a1,a2,a3上的 截距分别为
a1 , a2 , a3 。
h1 h2 h3
a3
由图可知： CA OA OC a1 a3 h1 h3
C
Kh
CB OB OC a2 a3
h2 h3 O
a2 B
A a1
K
h
CA
(h1b1
h2 b2
h3 b3 )
a1 h1
a2 h2
0
Kh
倒格 基矢
倒格
b1 2π a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω
b3 2π a1 a2 Ω
a1 ,a2 ,a3 b1 ,b2 ,b3
2π ( i j )