等参单元

整体坐标系 局部坐标系
[K ] = [B ]T [D ][B]t∆
参考网页上的教学程序planarFEM.pdf
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
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母单元插值函数
u = ∑ N i ui
i =1 4 4
单元内应变场
[ε ] =
∂N 1 ∂x 0 ∂N 1 ∂y 0 ∂N 1 ∂y ∂N 1 ∂x ∂N 2 ∂x 0 ∂N 2 ∂y 0 ∂N 2 ∂y ∂N 2 ∂x ∂N 3 ∂x 0 ∂N 3 ∂y 0 ∂N 3 ∂y ∂N 3 ∂x ∂N 4 ∂x 0 ∂N 4 ∂y u1 v1 0 u 2 ∂N 4 v 2 ∂y u 3 ∂N 4 v 3 ∂x u 4 v 4
弹簧单元
∆u ' − cosθ [∆w'] = ∆v' = sin θ sin θ − cosθ
T
四边形滑移单元
cos θ sin θ ui sin θ vi cosθ u j v j
sin θ − cosθ cos θ sin θ sin θ cosθ
雅可比矩阵
∂N i ∂N i ∂x ∂N i ∂y = + ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ
∂N i ∂x ∂ξ ∂ξ = ∂N i ∂x ∂η ∂η
高斯积分
∂N i ∂N i ∂x ∂N i ∂y = + ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η
ub 0 0 0 b2 l2
vb ] =
T
a2 l 1 0 0 0
0 a2 l1 0 0
0 0 b1 l1 0
0 0 0 b1 l2
a1 l1 0 0 0
u 1 0 v1 a1 u 2 l1 v2 u = [R ][δ e ] 0 3 v3 0 u 4 v4
u1 ' v ' 1 u ' 1 x' 1 x' 1 x' 1 x' 2 − − − + + − ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 2 l v2 ' 2 l 2 l 2 l 1 x' 1 x' 1 x' 1 x' −( − ) −( + ) 0 0 0 ( + ) 0 ( − ) u 3 ' 2 l 2 l 2 l 2 l v3 ' u ' 4 v4 ' ∆u ' = [N '][δ '] = ∆v '

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分离式模型

分离式模型


将钢筋与混凝土分别作为不同单元来处 理 一般将混凝土简化为实体单元，钢筋简 化为梁单元或桁架单元 钢筋与混凝土之间的滑移可以通过在钢 筋与混凝土之间添加相应的界面单元加 以模拟
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形函数的推导
[∆w'] =
∆u ' u 上 − u下 = ∆v ' v 上 − v下
∆v' = a 3 + a 4 x'
∆u ' = a1 + a 2 x'
形函数矩阵
[∆w'] =
[K ] = [T ]T [K '][T ]
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钢筋与混凝土的粘结滑移本构
局部粘结滑移关系

Nilson
τ (kgf/cm 2 ) = 100 × 10 2 S (cm) − 58.5 × 10 6 S 2 + 8.53 × 10 9 S 3
[F ] = [X Y [δ ] = [u v [F ] = [K ][δ ]
s a s a a
s s s
a
Xb ub
Yb ] vb ]
T
T
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钢筋附加刚度矩阵
[δ ] = [u
s a
带钢筋膜的8节点6面体单元
va 0 0 b2 l2 0
1 [(u3 '−u 2 ') + (u 4 '−u1 ')] l 1 a 4 = [(v3 '−v 2 ') + (v 4 '−v1 ')] l
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局部坐标系下的刚度矩阵
2k x ' 0 k sym 2 ' y kx ' 0 2k x ' k k 0 ' 0 2 ' y y [K '] = l 0 − 2k x ' 0 2k x ' 6 − kx ' k k k 0 − ' 0 − 2 ' 0 2 ' y y y − 2k ' kx ' kx ' 0 0 0 2k x ' x k k k k 0 − 2 ' 0 − ' 0 ' 0 2 ' y y y y
v = ∑ N i vi
i =1
N1 =
1 (1 − ξ )(1 − η ) 4 1 N 2 = (1 + ξ )(1 − η ) 4 1 N 3 = (1 + ξ )(1 + η ) 4 1 N 4 = (1 − ξ )(1 + 土有限元》
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=
1 xi 1 ∆ = 1 xj 2 1 xm
yi yj ym
ai = x j y m − x m y j bi = y j − y m ci = − x j + x m
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单元刚度矩阵
[D] =
1 ν 0 E ν 1 0 1 −ν 1 −ν 0 0 2
[K ] = ∫−1 ∫−1 [B ]T [D ][B ] J tdξdη = ∑∑ wi ([B ]T [D ][B ] J t ) i
1 1 i =1 j =1
n
n
∂y ∂N i ∂N i ∂x ∂ξ ∂x ∂N = [J ] ∂ N ∂y i i ∂y ∂y ∂η

[K ] =
− cosθ sin θ
sin θ − cos θ
cosθ sin θ
sin θ k h cos θ 0
0 − cos θ kv sin θ

最早由Goodman提出作为岩石力学中的 节理单元 单元宽度为零，不影响网格划分 与混凝土单元位移差值函数一样
u 4 '−u1 ' = a1 −
a2 2 a2 2
v 4 '−v1 ' = a3 −
a4 2 a4 2
u 3 '−u 2 ' = a1 −
a1 =
v3 '−v2 ' = a3 −
a2 =
1 [(u3 '−u 2 ') + (u 4 '−u1 ')] 2 1 a3 = [(v3 '−v 2 ') + (v 4 '−v1 ')] 2
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钢筋单元

钢筋与混凝土的界面单元形式

常用单元 桁架单元 梁单元 二维或三维
弹簧单元

Spring, link Goodman

滑移单元

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钢筋与混凝土的组合 钢筋混凝土有限元模型
江见鲸 陆新征 清华大学土木工程系 2004

钢筋混凝土有限元分析的复杂性：

材性本身的复杂性 材料组合的复杂性 分离式模型 组合式模型 整体式模型

常用的钢筋混凝土有限元组合方式：
y1 y2 y3 y4
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其他常用单元

参阅教学网页上相关程序

平面8节点等参元 空间8节点等参元
planarFEM.pdf 3D_Solid_src.pdf source_planefem.zip
n 1
高斯点 0.0
权因子 2.0
2 1.0 ± 1/ 3 3 ± 0.7745967 0.555556 0.0 0.888889
x1 1 − (1 − η ) (1 − η ) (1 + η ) − (1 + η ) x 2 [J ] = 4 − (1 − ξ ) (1 − ξ ) (1 + ξ ) − (1 + ξ ) x3 x4