问题1：如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能肯定，即下图中a 、b 数值不确定。

试讨论本博弈有哪几种可能的结果。

如果本博弈中的“威胁”和“承诺”是可信的，a 或b 应满足什么条件？①0a <，不借—不分—不打；②01a <<，且2b >，借—不分—打；③1a >，且2b >，借—不分—打(,)a b ；④0a >，且2b <，借—分—（2，2）问题2：三寡头市场需求函数Q P -=100，其中Q 是三个厂商的产量之和，并且已知三个厂商都有常数边际成本2而无固定成本。

如果厂商1和厂商2同时决定产量，厂商3根据厂商1和厂商2的产量决策，问它们各自的产量和利润是多少？1123111231(100)2(98)q q q q q q q q q π=----=---2123221232(100)2(98)q q q q q q q q q π=----=---3123331233(100)2(98)q q q q q q q q q π=----=---331230,(98)/2q q q q π∂=⇒=--∂（a ，b ） （0，4）代入，11212122(98)/2,(98)/2q q q q q q ππ=--=--12120,0q q ππ∂∂==∂∂，得***12398/3,49/3q q q === ***1234802/9,2401/9πππ===。

问题3：设两个博弈方之间的三阶段动态博弈如下图所示。

（1）若a 和b 分别等于100和150，该博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？（2）T N L --是否可能成为该博弈的子博弈完美纳什均衡路径，为什么？（3）在什么情况下博弈方2会获得300单位或更高的得益？（1）博弈方1在第一阶段选择R ，在第三阶段选择S ，博弈方2在第二阶段选择M 。

（2）不可能。

T N L --带来的利益50明显小于博弈方1在第一阶段R 的得益300；无论a 和b 是什么数值，该路径都不能构成Nash 均衡，不能成为子博弈完美Nash 均衡。

（a ，b ） 50，300（3）由于T N L --不是本博弈的子博弈完美Nash 均衡，因此博弈方2不可能通过该路径实现300单位的得益，唯一有可能实现300单位及以上的得益的路径为L N S --，要使该路径成为子博弈完美Nash 均衡而且博弈方2得到300单位及以上的得益必须300,300a b >≥。

问题4：企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品，每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。

如果企业甲先于企业乙进行产品选择并投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方都清楚。

（1）用扩展型表示这一博弈。

（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？扩展型表示的博弈若甲选择高档，乙选择低档，甲得1000元，乙得700元；若甲选择低档，乙选择高档，那么甲得700元，乙得1000元，所以：甲的策略为：选择生产高档产品；乙的策略是：若甲选择高档，乙选择低档；若甲选择低档，乙选择高档。

本博弈的子博弈Nash 均衡是：甲选择生产高档彩电，乙选择生产低档彩电。

问题5：乙向甲索要1000元，并且威胁甲如果不给就与他同归于尽。

当然甲不一定相信乙的威胁。

请用扩展型表示该博弈，并找出纯策略纳什均衡和子博弈完美纳什均衡。

两个纯策略Nash 均衡：（给，实施），（不给，不实施） 实施的威胁不可信，甲在第一阶段选择不给，乙在第二阶段不实施（生命诚可贵）；这是子博弈完美纳什均衡；另一个（给，实施）不可信。

问题6：两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是q c aq p ++--=21)（π，企业2的利润函数是p b q +--=22)（π，其中p 是企业1的价格，q 是企业2的价格。

求：（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；-1000，1000）（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；（3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；（4）是否存在参数c b a ,,的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？解：（1）122()02()0p aq c p q b qππ∂=--+=∂∂=--=∂，解得：,p ab c q c =-= 12,b ab c ππ==-（2）22()0q b q π∂=--=∂，代入得到21)p ab c b π=--++（，12)0p ab c pπ∂=--+=∂（，得 p ab c =-，企业1的子博弈完美纳什均衡企业1的定价p ab c =-，企业2的定价q b =，利润也与（1）相同。

与同时选择无异。

（3）将p aq c =-代入222))q b p q b aq c π=--+=--+-（（22)0q b a qπ∂=--+=∂（，解得2a q b =+，代入得 22a p abc =+- *12a b b π=+>，2*24a ab c ab c π=+->- （4）只有先决策的利润大于后决策时的利润时才有激励。

①当24a abc ab c +->-0a ⇒≠，企业2希望先决策； ②当2a b b >+时，企业1希望先决策，只要0a <都希望自己先决策。

20,0,0,024a ab b abc ab c >+>->+->，因此当 0,2a ab <>-和c ab <时都能满足，这样才参数范围都希望自己先决策。

问题7：三寡头市场有倒转的需求函数为Q a Q P -=)(，其中321q q q Q ++=，i q 是厂商i 的产量。

每一个厂商生产的边际成本为常数c ，没有固定成本。

如果厂商1先选择产量1q ，厂商2和厂商3观察到1q 后同时选择2q 和3q ，问它们各自的产量和利润是多少？解：[]123()()1,2,3i i a c q q q q i π=----=21232312332020a c q q q q a c q q q q ππ∂=----=∂∂=----=∂ 2311()3q q a c q ==--，代入得1111()3a c q q π=-- 令*11110,()2d q a c dq π==-，代入得：**231()6q q a c ==- *2*2*2123111(),(),()123636a c a c a c πππ=-=-=- 问题8：考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企业1和企业2目前情况下的生产成本都是2=c 。

企业1可以引进一项新技术使单位成本降低到1=c ，该项技术需要投资f 。

在企业1作出是否投资的决策（企业2可以观察到）后，两个企业同时选择产量。

假设市场需求函数为q q p -=14)(，其中p 是市场价格，q 是两个企业的总产量。

问上述投资额f 处于什么水平时，企业1会选择引进新技术？解：以未引进技术为基准1121121222(14)2(14)2q q q q q q q q ππ=---=---，令12120q q ππ∂∂==∂∂，得 12124,16q q ππ==⇒==如果引进技术，1121121222(14)(14)2q q q q f q q q q ππ=----=--- 令12120q q ππ∂∂==∂∂，得1211411196,,339q q f π'==⇒=- 只有引进技术后得到的利润大于未引进技术的总利润时，即 196169f ->，即196521699f <-=时企业1才会引进新技术。

问题9：如果学生在考试之前全面复习，考好的概率为90%，如果学生只复习一部分重点，则有50%的概率考好。

全面复习花费的时间1001=t 小时，重点复习只需要花费202=t 小时。

学生的效用函数为：e W U 2-=，其中W 是考试成绩，有高低两种分数h W 和l W ，e 为努力学习的时间。

问老师如何才能促使学生全面复习？解：学生全面复习的期望得益10.9(200)0.1(200)0.90.1200h l h l u w w w w =⨯-+⨯-=+-学生重点复习的期望得益20.5(40)0.5(40)0.50.540h l h l u w w w w =⨯-+⨯-=+-根据激励相容的条件，12u u ≥，所以有0.90.12000.50.540h l h l w w w w +-≥+-所以：0.4()160h l w w -≥故：400h l w w -≥奖学金与学习成绩全面挂钩，才能激励学生的学习；单靠成绩没有这么大的力度。

问题10：某人正在打一场官司，不请律师肯定会输，请律师后的结果与律师的努力程度有关。

假设当律师努力工作（100小时）时有50%的概率能赢，律师不努力工作（10小时）则只有15%的概率能赢。

如果诉讼获胜可得到250万元赔偿，失败则没有赔偿。

因为委托方无法监督律师的工作，因此双方约定根据结果付费，赢官司律师可获赔偿金额的10%，失败则律师一分钱也得不到。

如果律师的效用函数为e m 05.0.-，其中m 是报酬，e 是努力小时数，且律师有机会成本5万元。

求这个博弈的均衡。

解：第三阶段，律师努力的期望得益：0.5200.557.5⨯-⨯=不努力的期望得益：0.1524.50.850.5 3.25⨯-⨯=满足激励相容约束第二阶段：7.5 3.25&7.55>>接受委托并努力工作第一阶段：委托，接受委托，代理人努力工作，那么⨯+⨯=>0.52250.50112.50委托是必然的选择。

打官司的人提出委托，律师接受委托并努力工作。

0，5）赢（225，20）（0，-5）（225，24.5）（0，-0.5）。