《博弈论》期末习题
专业：经济学学号：2 ；姓名：王兆丽
一、试写出掷硬币博弈的局中人及其策略与得益函数，并写出双变量得
益矩阵。
答：局中人：盖硬币者和猜硬币者。
策略：有正面和反面两种可选择策略，若猜对，猜者得１盖者－１.否则猜者－１盖者１.由于每一方都不会让对方在选择之前知道自己的决策，所以可以看做是同时做决策的。
双变量得益矩阵；
猜硬币方
二、试举生活中的一例，说明囚徒困境是如何产生的？并试分析可能走
出囚徒困境的途径。
答：例子：中国移动和中国联通之间的价格战。
产生原因：囚徒困境是在个体之间存在行为和利益相互制约的博弈结构中，以个体理性和个体选择为基础的分散决策方式，无法有效地协调各方面的利益，并实现整体、个体利益共同的最优。
简单的说，囚徒困境问题都是个体理性与集体理性的矛盾引起的。
可能走出的囚徒困境途径：(1)惩罚。
如果政府对实行价格战以获利的企业实行惩罚，那么就会制止这种现象发生。
（2）忠诚文化。
有时候，建立一种相互忠诚的文化也可以帮助走出囚徒困境。
在很多组织中，团体产生所面临的囚徒困境问题的轻重程度是不同的，这种差异的根本来源就是各个组织有自己的文化。
（3）长期关系和重复博弈。
建立长期关系使得囚徒困境博弈可以多次重复，如果这个“多次”足够长，那么人们就有可能为了长远的将来利益而牺牲眼前的一笔横财，合作也是可以达成的。
三、用逆向归纳法求解下面的博弈的子博弈完美纳什均衡。
答：1、该博弈共包括四个子博弈：（1）从博弈方1选择R 以后博弈方2的第二
阶段选择开始的三阶段动态博弈；（2）从博弈方2第二阶段选择R 以后博弈方1
的开始选择的两个阶段动态博弈；（3）第三阶段博弈方1选择A 以后博弈方2
的单人博弈；（4）第三阶段博弈方1选择B 以后博弈方2的单人博弈
2、根据逆推归纳法先讨论博弈方2在第四阶段的选择。
由于选择C 、D 个中
任何一个的得益都相同，因此在这阶段随意选择一个都可以。
倒退回第三阶段，
博弈方1选择ＡＢ中任何一个都可以。
再推回第二阶段，博弈方２选择Ｌ将得到
３选择Ｒ得到２，因此选择Ｌ；最后回到第一阶段，博弈方１选择Ｌ得到２选择
Ｒ得到３,。
所以该博弈的子博弈完美纳什均衡为：博弈方１第一阶段选择Ｒ，
博弈方２第二阶段选择Ｌ，即（３,１）是该博弈的完美纳什均衡。
四、两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是
q c aq p ++--=21)(π，企业2的利润函数是p b q +--=22)(π，其中p 是企业1
的价格，q 是企业2的价格。
求：
1．两个企业同时决策的纯战略纳什均衡；
两个企业同时定价。
根据两个企业的得益函数，很容易导出它们各自的反应
函数：απ1 /αp = -2(p-aq+c)=0 ____ p=aq-c
απ2/αq = -2(q-b)=0 ______ q=b
因此两个企业同时决策时的纳什均衡是：
P=ab-c
q=b
此时两个企业的利润
=-(p-aq+c)2+q=b
π
1
π
=-(q-b)2+p=ab-c
2
2．企业1先行动时的子博弈完美纳什均衡；
企业1先决策。
根据逆推归纳法，先求企业2的反应函数：
απ
/αq = -2(q-b)=0 ______ q=b
2
代入企业1的利润函数，得到：
=-（p-aq+c）2+q
π
1
=-(p-ab+c)2+b
再求企业1的反应函数：
/αp=-2(p-ab+c)=0 _______ p=ab-c
απ
1
因此企业1先决策时的子博弈完美纳什均衡仍然是：企业1定价p=ab-c,企业2定价q=b,与两家企业同时定价时相同。
利润当然也与同时定价时相同。
这实际上是因为博弈中后行为的企业2的选择与先行为的企业1的选择无关。
3．企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；
企业2先决策。
根据逆推归纳法，先求出企业1的反应函数：
/αp =-2(p-aq+c)=0 _____ p=aq-c
απ
1
代入企业2的利润得：
=-(q-b)2+p
π
2
=-(q-b)2+aq-c
求企业2的反应函数得：
/αq =-2(q-b)+a=0 ______ q=a/2 +b
απ
2
再把该价格代入企业1的反应函数，得：
P=aq-c=a2/2+ab-c
因此企业2先决策时子博弈完美纳什均衡是：企业1定价为p=a2/2+ab-c;企业2 定价为q=a/2 +b。
因此两个企业的利润为：
π
=-（p-aq+c）2+q
1
=-[a2/2 +ab-c-a*a/2-ab+c]2+a/2+b
=a/2+b
=-（q-b）2+p
π
2
=-(a/2+b-b)2+a2/2+ab-c
=a2/4+ab-c
4．是否存在参数c
,的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策。
a,
b
因为只有先决策的利润大于后决策的利润时企业才希望先决策，因此当： a2/4+ab-c > ab-c
企业1希望自己先决策。
这个不等式在a≠0的情况下总能满足。
b>a/2+b
企业2希望自己做决策。
这个不等式要求a<0.因此根据上述两个不等式，只要a<0，两个企业都会希望自己先决策。
如果进一步考虑利润必须非负，那么几个参数还必须满足b>0、a/2+b>0、ab-c>0和a2/4+ab-c>0.其中第四个不等式在a≠0并且第三个不等式成立时必然成立，前三个不等式结合上述a<0,得到两个企业都希望先决策的条件是a<0,b>-a/2和c<ab.
五、回答下列问题
1、博弈的扩展型表述的基本构成要素是什么?如何将一个扩展型博弈转化为策略型博弈?试以石头、剪子、布博弈为例加以说明。
石头、剪子、布博弈
扩展性表述的构成要素：（1）局中人A，局中人B。
（2）局中人会出的手势：石头、剪子、布。
（3）局中人可能得到的赢利：石头赢剪子，剪子-1，石头1；剪子赢布，剪子1，布-1;布赢石头,布1，石头-1.
要把一个扩展型博弈转化为策略型博弈，则必须在做出策略之前知道对方的策略，如上表中，如果局中人1知道局中人2出的是石头，那么局中人肯定只会选择出布这个策略。
规定两个人同时做出策略，这就很难知道对方的策略，但也可以根据对方的习惯或者自己经验判断对方选择的策略，从而做出赢对方的策略。
2、什么是子博弈?子博弈和原博弈有何异同?试举例说明。
一个动态博弈第一个阶段以外某个阶段开始的，有初始信息集和进行博弈所需要的全部信息，能够自成一个博弈的后续博弈阶段，称为动态博弈的一个“子博弈”
子博弈和原博弈的异同：子博弈可以自成一个博弈，也可以成为原博弈的后续博弈，但是它们都有初始信息集和所需要的全部信息。
3、动态博弈分析中为什么要引进子博弈完美纳什均衡，它与纳什均衡之间是什么关系?试用一个例子说明子博弈完美纳什均衡如何对纳什均衡进行完美。
纳什均衡不能排除不可信行为选择问题是引进子博弈完美纳什均衡的动因。
关系：子博弈完美纳什均衡本身也是纳什均衡，是比纳什均衡更强的均衡概念。
子博弈完美纳什均衡在动态分析中的地位与纳什均衡在动态分析中的地位一样，是最核心的分析概念和基本着眼点。
例子：以下图的开金矿为例，双方的策略组合“乙第一阶段选择借，第三阶段选择打，甲第二阶段选择分”虽然是整个博弈的一个纳什均衡，但这个策略组合中乙的策略要求乙在第三阶段单人博弈构成的子博弈中选择打，不是该博弈的一个纳什均衡，因此根据子博弈完美纳什均衡的定义判断，这个策略组合确实不是一个子博弈完美纳什均衡。
相反，策略组合“乙在第一阶段选择不借，如果有第三阶段选择则选不打；甲如果有第二阶段选择不分”则这个就是开金矿博弈中的子博弈完美纳什均衡。
因为该策略组合的双方策略不仅在整个博弈中构成纳什均衡，而且在两级子博弈中也构成纳什均衡，从而不存在任何不可信的威胁或承诺，根据子博弈完美纳什均衡的定义，该策略组合构成的这个动态博弈的一个子博弈完美纳什均衡。
）。