y2 2 px
p 0
y2 2 px
p 0
x2 2 py
p 0
数形共同点: (1)原点在抛物线上; (2)对称轴为坐标轴; (3)焦点到准线的距离均为P；
(4) 焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称。 口诀:
对称轴要看一次项,符号确定开口方向; （看x的一次项系数,正时向右,负向左;
看y的一次项系数,正时向上,负向下.）
(0，p ) y p
2
2
y
O F
l
x
x2=-2py (p>0)
(0， p ) 2
y p 2
四种抛物线的对比
P的意义:抛物 线的焦点到准 线的距离
方程的特点: (1)左边是二次 式, (2)右边是一次 式;决定了焦点 的位置. (3)焦点坐标中 横（纵）坐标 的值是一次项 系数的1/4，准 线方程中的数 值是一次项系 数的 -1/4.
解（直接法）：设 M(x，y)，则由已知，得
|MF|+1=|x+5|
l
y
.M
即 (x 4)2 y2 1 x 5 化简得 y2 16x 即为点 M的轨迹方程 .
o
.
Fx
另解(定义法)：
由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.
点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线. 由抛物线定义知：
y2 2 px( p 0)
这就是所求的轨迹方程.
【讲授新课】
标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离
焦点坐标是 ( p , 0) , 2
准线方程为: x p 2
【讲授新课】
若抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，
【讲授新课】
例4 求满足下列条件的抛物线的标准
方程： （1）过点(-3,2)；
（1）y2
4
x或x2
9
y
（2）焦点在直线x－2y－4＝0上3.
2

y
M Ox
O
Fx F
（2）y2 16x或x2 8y.
【讲授新课】
例5点M到点F(4，0)的距离比它到直线l: x+5=0 的距离小 1， 求点M的轨迹方程。
其开口方向有哪几种可能？
y
l
l
OF x
F
F l
向左、向上、向下.
【讲授新课】
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离
想一焦点想坐:标坐是标(系2p的, 0建) ,立准还线有方没程有为其: 它x 方案2p也
p 2
4 ，
p 8.
故点 M的轨迹方程为 y2 16x .
【课堂小结】
1．抛物线的定义类似椭圆和双曲线的第二 定义，其离心率 e = 1 ． 2．抛物线有四种标准方程． 3．p 的几何意义是焦点到准线的距离．
4．标准方程中 p 前面的正负号决定了抛物线 的开口方向． 5．求轨迹方程的方法： （1）待定系数法；（2）定义法．
x2 2 py
p 0
求P！
想一想
求抛物线的标准方程、焦点坐标、 准线方程时，关键是求什么？
【讲授新课】
例1 已知抛物线的标准方程是y2＝6x， 求它的焦点坐标和准线方程.
焦点为
( 3 , 0) 2
准线方程为 x = - 3
2
例2 已知抛物线的焦点坐标是 F(0，－2)，求它的标准方程．
y
lo
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ 会使抛物线方程的形式简单 ？
y
y
y
ox
ox o x
y
o
x
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
( p ,0) x p
2
2
yl
FO
y2=-2px x (p>0)
( p ,0) 2
xp 2
y
F
O
x2=2py
x
l
(p>0)
x
F（0,－2）
解：因为焦点在 y 轴的负半轴上，并且 p = 2，p = 4 ，所以所求抛物线的标准方
程是2x2 =－8y .
例3已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线
的标准方程
yl
Fo
x
X=1
解：因为准线方程是 x = 1，所以 p=2 ， 且焦点在 x 轴的负半轴上，所以所求抛 物线的标准方程是 y2 =－4x .
注意：定点在定直线外．若定点在定直线上，
得到的点的轨迹是什么?
l M
过定点 F 与定直线 l 垂直的直线．F
（椭圆、双曲线的第二定义）
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的 点M的轨迹
当 0<e<1 时，
当__e_>_1___时，
当__e_=_1___时，
点M的轨迹是椭圆； 点M的轨迹是双曲线 点M的轨迹是抛物线
【复习引入】
在初中，我们学习过了二次函数y ax2 bx c(a 0), 知道二次函数的图像是一条抛物线，如：（1）y 4x 2 (2) y 4x2的图像。
2.3.1a抛物线及其标准方程.gsp
【讲授新课】
抛物线的定义：
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点．直线 l 叫做抛物 线的准线．
M
M
HM
lF
【讲授新课】
y
解：以过F且垂直于 l 的直线为x
M(x,y) 轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐
Ko F
标原点建立直角坐标系xoy.
x 设 M( x, y), FK p ,
l
则焦点 F( p , 0) ,准线 l : x p
2
2
依题意得
(x
p )2
y2
| x
p |
2
2
两边平方,整理得