分数指数幂
一、教学目标
〖知识与技能〗
（1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算
和化简。

（2） 会对根式、分数指数幂进行互化。

（3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗
通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。

〖情感、态度与价值观〗
通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。

二、教学重难点
根式、分数指数幂的概念及其性质。

三、教学情景设计
1、复习讨论
（1）根式的相关概念
（2）整数指数幂：a a a a n ⨯⨯⨯=
运算性质：n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===⋅+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。

2、问题情境设疑
问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体
内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)2
1
(t
P =，考古学家根据这个式子可以知道，生
物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。

例如：
当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为21
，2)21(，3)2
1(，……
当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含
量P 分别为57306000
)21(，573010000
)2
1
(，5730
100000)
21(。

设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：322⨯？
分析：66236263332222222=⨯=⨯=⨯，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？
3、分数指数幂
实例引入：5
102
55
25
10
)(a a a a ===，4
123
44
34
12
)(a a a a ===
问题：1、从以上两个例子你能发现什么结论？
当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成根指数
被开方数的指数
a
的形式
2、4532,,c b a 如何表示？ 结论：规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n
m 问题3、正数的负分数指数幂是：)1,,,0?(*>∈>=-n N n m a a n
m
分析：)1,,,0(1
*00>∈>=
=
=-
-
n N n m a a a
a a a n
m
n
m n
m n
m
如：3
4
3
45
1
5
=
-，)0(1
3
2
3
2>=
-
a a
a。

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

特别指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
4、有理指数幂的运算性质： （1）r a ·s r r a a +=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>> 回到前面的问题，则有66
53
1213
12
133222
2222===⨯=⨯+，对于本节开头的问题2，考
古学家正式利用有理数指数幂的知识，计算出生物死亡6000年，10000年，100000年后体内碳14含量P 的值。

例如
当t=6000时，P=484.0)2
1
()21(573600573600
≈=（精确到0.001），即生物死亡6000年后，
其体内碳14的含量约为原来的48.4%。

相信学生在真正掌握了分数指数幂的意义及运算性质后，都能够顺利解决。

例1．求值：43
52
13
2
)81
16(,)21(,25,8-
--
例2．用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0）:
①a a ⋅3
②a 2
·
3
a2③3a a
例3.计算下列各式（式中字母都是正数）
（1）)3()6)(2(6
56
13
12
12
13
2b a b a b a -÷- （2）8
834
1)(-n m 例4.计算下列各式
（1）4325)12525(÷- （2）
)0(3
2
2>⋅a a
a a
例5.设c b a 、、均为不等于1的正数，且z y x c b a ==，,0111=++z
y
x
求abc 的值。

5、无理数指数幂
结合教材P 52实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．
指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
思考：参照以上过程，请你说明无理数指数幂32的含义。

例3．22)5
1(5⋅=
点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．
四、实战演习
1.课本54页练习题
2.化简：
43
232)(ab
b a b a ⋅
3.已知32
12
1=+-a
a ，求下列各式的值
（1）1-+a a （2）22-+a a （3）2
12
1
232
3-
-
--a
a a a
4.① 错误!②2错误!⨯错误!⨯错误! ③错误!(a>0) 答案：3
6
3 ; 6;
6a5
五、归纳小结，强化思想
本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．
六、作业布置。