第118课隐零点及卡根思想基本方法：导数解决函数综合性问题最终都回归于函数单调性的判断，而函数的单调性与其导数的零点有着紧密的联系，可以说导函数零点的判断、数值上的精确求解或估计成为导数综合应用中最为核心的问题.导函数的零点，根据其数值上的差异，我们可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，我们不妨称为“显零点”；另一类是能判断其存在但数值上无法精确求解的，我们不妨称为“隐零点”.（1）函数“隐零点”的存在性判断对于函数“隐零点”的存在性判断，常采用下列两种方法求解：①若连续函数()f x 在(,)a b 上单调，且()()0f a f b ×<，则()f x 在(,)a b 上存在唯一零点；②借助图像分析，即将函数()f x 的零点问题转化为方程()0f x =的解的判断，并通过合理的变形将方程转化为合适的形式在处理.（2）函数“隐零点”的虚设和代换对于函数“隐零点”，由于无法求出其显性表达式，这给我们求解问题带来一定困难.处理这类问题的基本方法为“虚设及代换”：在确定零点存在的条件下虚设零点0x ，再借助零点的表达式进行合理的代换进而求解.（3）函数“隐零点”的数值估计-卡根思想函数“隐零点”尽管无法求解，但是我们可以进行数值估计，最简单的方法即为判断其存在性的前提下利用二分法进行估计，估值范围越精确越容易解决问题.对于“隐零点”的代数估计，可以通过单调函数构造函数不等式进行估计.一、典型例题1.已知函数()22e x f x x x =+-，记0x 为函数()f x 极大值点，求证：()0124f x <<.答案：见解析解析：()()22e x f x x x x =+-∈R ，则()22e x x x f +'=-，设22e )2(()e ,x x x g x g x '==+--，令()0g x '=得ln2x =，当(),ln2x ∈-∞时，()()0,g x g x '>为增函数；当()ln2,x ∈+∞时，()()0,g x g x '<为减函数；所以，()()g x f x '=在ln2x =处取得极大值2ln20>，容易判断()f x '一定有2个零点，分别是()f x 的极大值点和极小值点.设0x 是函数()f x 的一个极大值点，则()00022e 0x f x x '=+-=，所以，00e 22x x =+，又()32235e 0,26e 02f f ⎛⎫''=->=-< ⎪⎝⎭，所以03,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时()022*******e 2(,2)2x f x x x x x ⎛⎫=+-=-∈ ⎪⎝⎭，所以()0124f x <<.2.已知函数()4ln (1)x f x x x +=>.若*k N ∈，且()1k f x x <+恒成立.求k 的最大值.答案：6解析：由()1k f x x <+得()()14ln ,1x x k x x ++<>，令()()()14ln ,1x x h x x x ++=>，()23ln ,1x x h x x x -='->()3ln ,1x x x x ϕ=-->，()110(1)x x xϕ>'=->()x ϕ在(1,)+∞单调递增，()41ln 40ϕ=-<，53141414143ln ln e ln ln ln 3333ϕ⎛⎫=--=-> ⎪⎝⎭，332253558141681491612814126()()03333⨯-⨯⨯-⨯-==>，所以1403ϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭，0144,3x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使()00x ϕ=，且()()()()01,,0,0,x x x h x h x ϕ∈<<''递减，()()()()0+,0,0,x x x x h h x ϕ''∈∞>>，递增，()()()0min 14ln ,x x h x x ++=且()0003ln 0x x x ϕ=--=，()()20000011252892,442x h x x x x +⎛⎫==++∈ ⎪⎝⎭，又k Z ∈，()0k h x <恒成立，6k ∴≤，综上k 的最大值为6.二、课堂练习1.已知函数()2ln f x x x x x =--，证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<.答案：见解析解析：2()ln ,()22ln f x x x x x f x x x '=--=--，设()22ln h x x x =--，则1()2h x x'=-，当1(0,)2x ∈时，()0h x '<，当1(,)2x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增，又21()0,()0,(1)02e h h h -><=，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1(,)2+∞有唯一零点1，且当0(0,)x x ∈时，()0h x >；当0(,1)x x ∈时，()0h x <，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >.因为()()f x h x '=，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点，由0()0f x '=得00ln 2(1)x x =-，故000()(1)f x x x =-，由01(0,)2x ∈得01()4f x <.因为0x x =是()f x 在(0,1)的最大值点，由11(0,1),e e ()0f --'∈≠得120e ()e ()f x f -->=，综上可知220()2e f x --<<.2.已知函数ln 1()x f x ax x-=-.若12a <<，求证：()1f x <-.答案：见解析解析：由0x >，()1f x <-，等价于ln 11x ax x --<-，等价于21ln 0ax x x -+->.设2()1ln h x ax x x =-+-，只须证()0h x >成立.因为2121()21ax x h x ax x x--'=--=，12a <<，由()0h x '=，得2210ax x --=有异号两根.令其正根为0x ，则200210ax x --=.在0(0,)x 上()0h x '<，在0(,)x +∞上()0h x '>，则()h x 的最小值为20000()1ln h x ax x x =-+-00011ln 2x x x +=-+-003ln 2x x -=-.又(1)220h a '=->，13(2()30222a h a '=-=-<，所以0112x <<.则0030,ln 02x x ->->，因此003ln 02x x -->，即0()0h x >，所以()0h x >，所以()1f x <-.三、课后作业1.已知函数()ln f x x =，若关于x 的方程()()1f x m x =+，()m Z ∈有实数解，求整数m 的最大值.答案：0解析：方程()ln 1x m x =+,即ln 1x m x =+,记函数()ln 1x h x x =+,(0)x >，()()21ln 1x x x h x x +-+'=,令()1ln x x x x ϕ+=-(0)x >,()2110x x x ϕ'=--<，()x ϕ单调递减,()()()()22222211e e 0,e 0e e 1e e 1h h -=='+'><+，存在()20e,e x ∈,使得()00h x '=,即0001ln x x x +=,当()00,x x ∈,()0h x '>,()h x 递增,()()0,,0x x h x ∈+∞<',()h x 递减,()02max 00ln 111,1e e x h x x x ⎛⎫∴==∈ ⎪+⎝⎭,即()max m h x ≤,()m ∈Z ,故0m ≤,整数m 的最大值为0.2.已知函数()22ln f x x =+，令()()2xf x g x x =-在()2,+∞上的最小值为m ，求证：()67f m <<.答案：见解析解析：由题可知()()2xf x g x x =-22ln (2)2x x x x x +=>-，所以()()()222ln 42x x g x x --'=-，令()2ln 4s x x x =--，则()221x s x x x -'=-=，由于2x >，所以()0s x '>，即()s x 在()2,+∞上单调递增；又()80s <，()90s >，所以()08,9x ∃∈，使得()00s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，即()g x 在()02,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增.所以()()0min g x g x =000022ln 2x x x x +=-2000022x x x x -==-.（∵002ln 4x x =-）即0m x =，所以()()0f m f x =()0022ln 26,7x x =+=-∈，即()67f m <<.3.已知函数()2e e e x x x f x x =--（e 2.718=⋯，e 为自然对数的底数），证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()02ln2112e 44e f x +≤<.答案：见解析解析：()2e e e x x x f x x =--，()()e 2e 2x x f x x '=--.令()2e 2x h x x =--，则()2e 1x h x '=-，∵(),ln2x ∈-∞-时，()0h x '<，()h x 在(),ln2-∞-上为减函数；()ln2,x ∈-+∞时，()0h x '>，()h x 在()ln2,-+∞上为增函数，由于()10h -<，()20h ->，所以在()2,1--上存在0x x =满足()00h x =，∵()h x 在(),ln2-∞-上为减函数，∴()0,x x ∈-∞时，()0h x >，即()0f x '>，()f x 在()0,x -∞上为增函数，()0,0x x ∈时，()0h x <，即()0f x '<，()f x 在()0,0x 上为减函数，()0,x ∈+∞时，()0h x >，即()0f x '>，()f x 在()0,+∞上为增函数，综上可知，()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02,1x ∈--.∵()00h x =，∴002e 20x x --=，所以()()0002220000000222e e e 1224x x x x x x x f x x x +++⎛⎫⎛⎫=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()02,1x ∈--，∵()2,1x ∈--时，22144x x +-<，∴()014f x <；∵()1ln 2,12e ∈--，∴()021ln21ln 2e 2e 4ef x f ⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭；综上知：()02ln2112e 44e f x +≤<.。