9 有理数的乘方
1．乘方的意义
(1)乘方的定义
求n
个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．如图，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作：a 的n 次幂(a 的n 次方)． 乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同)，幂是乘方运算的结果；乘方的底数是相同因数，
指数是相同因数的个数．
(2)乘方的意义
a n 表示n 个a 相乘．
即a n ＝n a a a a a ⨯⨯⨯⋯⨯1442443个.
如：(－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)表示3个(－2)相乘．
释疑点 (－a )n 与－a n 的区别
①(－a )n 表示n 个－a 相乘，底数是－a ，指数是n ，读作：－a 的n 次方；②－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数． 如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作负3的3次方，表示3个(－3)相乘．(－3)3＝(－
3)×(－3)×(－3)＝－27.
－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27.
(3)乘方的书写
①一个数可以看成这个数本身的一次方．如5就是51，通常指数1省略不写．
②负数或分数做底数时，应用括号把负数或分数括起来，再在其右上角写指数，指数应
写小一点．如(－1)2不能写成－12，⎝⎛⎭⎫322不能写成32
2. 【例1】 填空：(1)式子(－1.2)10表示__________，其中底数是__________，指数是__________．
(2)120137111777⎛⎫- ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⋯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
14444244443个写成乘方的形式是__________，读作__________．
解析：(1)乘方表示几个相同因数的积，相同的因数是底数，指数即相同因数的个数；
(2)把n 个相同因数的积写成乘方的形式，相同因数写成底数，本题中⎝⎛⎭⎫－17是底数，相同因数的个数2 013写成指数． 答案：(1)10个－1.2相乘 －1.2 10
(2)⎝⎛⎭⎫－17 2 013 负17
的2 013次幂⎝⎛⎭⎫或负17的2 013次方 2．乘方运算的符号法则
乘方运算的符号法则
乘方运算就是根据乘方的意义把它转化为乘法进行计算．如：33＝3×3×3＝27. ①正数的任何次幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数；
③负数的偶次幂是正数；
④0的奇次幂、偶次幂都是0.
任何一个有理数的偶次幂都是非负数，即a 2n ≥0(n 为正整数)；若用n 表示正整数，则
2n 表示偶数，而用(2n ＋1)表示奇数，则(－1)2n ＝1，(－1)2n ＋1＝－1.
【例2】 下列说法不正确的是( )．
A ．(－2)2 013是负数
B ．－4200是正数
C ．0的任何次幂(指数不为0)都等于它本身
D ．－1的38次幂等于它的相反数
解析：－4200表示4的200次方的相反数，是负数，故B 错误．
答案：B
3．有理数乘方的运算
乘方运算的方法如下：
与有理数的加、减、乘、除四种运算一样，有理数的乘方也是一种运算，其运算的方法是：
①确定幂的符号；
②进行乘法的运算．
析规律 对于乘方的理解
①乘方是一种运算，是特殊的乘法(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果． ②因为a n 表示n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘法进行乘方运算，即将乘方转化成乘法运算．
4．绝对值与乘方非负性的综合运用
(1)平方、立方及平方的非负性
在a n 中，若n ＝2，则为a 2，读作a 的2
次幂，也读作a 的平方；当n ＝3时，a 3可读作a 的3次方，也可读作a 的立方．平方、立方是乘方中最常见的． ①根据乘方与乘法的关系可知：正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方等于0.也就是任何一个有理数的平方都是非负数．
②平方等于它本身的数：0,1；立方等于它本身的数：0,1，－1.
(2)绝对值的非负性
任何一个数的绝对值都是非负数，即|a |≥0.
(3)非负数的性质
性质：若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0.
比如：若|a |＋b 2＝0，则a ＝0，且b ＝0.
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【例3】 计算：
(1)(－2)4；(2)－34；(3)⎝⎛⎭⎫453；
(4)⎝⎛⎭⎫－1232；(5)－47
2；(6)(－1)2 014. 分析：根据乘方的意义和符号法则求解．(1)(－2)4表示4个(－2)相乘；(2)－34表示34
的相反数；(3)⎝⎛⎭⎫453表示3个45相乘；(4)⎝⎛⎭⎫－1232表示2个⎝⎛⎭⎫－53相乘；(5)－472
表示4除以7的2次方的相反数；(6)(－1)2 014表示2 014个(－1)相乘．
解：(1)(－2)4＝(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝16；
(2)－34＝－(3×3×3×3)＝－81；
(3)⎝⎛⎭⎫453＝45×45×45＝64125；
(4)⎝⎛⎭⎫－1232＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－53＝259
； (5)－472＝－47×7
＝－449； (6)(－1)2 014＝()()()()
20141111--⨯-⨯⋯⨯-144424443
个＝1. 【例4－1】 下列说法正确的有( )．
①负数的平方是负数；②正数的平方是正数；③平方是它本身的数是0和1；④1的立方等于它本身；⑤－1的平方等于它的倒数；⑥任何一个有理数的平方都是非负数．
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．2个
① × 乘方是特殊的乘法运算，两数相乘，同号得正，异号得负，
故①，②都为正数
② √ ③ √ 0的平方等于0,1的平方等于1
④ √ 1的立方是1
⑤ × －1的平方是1，－1的倒数是－1，所以不相等
⑥ √ 0的平方是0，正数和负数的平方都是正数
答案：B
【例4－2】 若x ，y 为有理数，且(5－x )4＋|y ＋5|＝0，则⎝⎛⎭⎫x y 2 013的值为( )．
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
解析：因为(5－x )4和|y ＋5|都是非负数，且(5－x )4＋|y ＋5|＝0，所以由非负数的性质得(5－x )4＝0，|y ＋5|＝0，即5－x ＝0，y ＋5＝0.解得x ＝5，y ＝－5.
所以⎝⎛⎭⎫x y 2 013＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫5－5 2 013＝(－1)2 013＝－1.故选B. 答案：B
5．有理数乘方规律探究及应用
(1)有理数乘方规律探究
①观察给出的一组数字或式子，分析所包含的乘方运算，结合连续偶数、连续奇数等知识，探究其中的规律．
②根据其规律，按要求进行计算或解答．
(2)乘方的应用
生活中乘方的应用主要是裂变和对折．
①裂变：将某一物体一分二、二分四、四分八、八分十六……像这样以倍增的速度发生变化就是裂变．
裂变规律：裂变一次即原来的数量乘21，裂变两次乘22，裂变三次乘23，…，裂变n 次乘2n .
②对折：一张纸对折，对折次数与纸的层数、折痕数、单层纸占整张纸的面积比例之间次数 1 2 3 … n
层数 2 4 8 … 2n
折痕数 1 3 7 … 2n －1
单面占 的比例
12 14 18 … 12n 【例5－1】 (只有数码0和
1)，它们两者之间可以互相换算，如将(101)2，(1011)2换算成十进制数应为：
(101)2＝1×22＋0×21＋1×20＝4＋0＋1＝5；
(1011)2＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝11.
按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是__________．(说明：20＝1)
解析：从例子中可以看出，把二进制数转换成十进制数要通过乘方运算．二进制数的进
率是2，右边第一位数字0或1就是十进制中的0或1，右边第二数位代表21，右边第三位代表22，右边第四位代表23，依此类推，相加即可转化为十进制数．所以(1001)2＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝8＋0＋0＋1＝9.
答案：9
【例5－2】 面积是128平方分米的一张纸片，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，第三次再将剩下的一半剪去，…，如此下去，剪完第6次后剩下的面积还有多少平方分米？
分析：
解：128×⎝⎛⎭⎫126＝128×164
＝2(平方分米)． 答：剪完第6次后剩下的面积还有2平方分米．。