证明线段相等的方法很多， 那什么时候选择用比例线段 的方法比较合适呢？
1、题目条件中有平行线； 2、题目条件中有线段； 3、题目条件中能证明三角形相似。
具体情况具体分析，多做题多总结多对比。
学生练习： 1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB⊥BC，点E在边AB上，CE⊥DE，点F在 AE上，且∠ADF=∠EDC。 求证：AF=BE。
分析：要证ED=DF， 只要构建
ED DF ( a b) a b
例2：已知：在△ABC中，AM是BC边上的中线，D是AM上任意一点，过点D作EF∥BC，分别交 AB、AC于点E、F。 求证：ED=DF。
证明：∵ED∥BM，∴ BM AM
ED
AD
DF
∵DF∥MC，∴ MC

AD AM

ED DF BM MC
思考：证明两条线段相等有哪些常用方法？
1、证明这两条线段所在三角形全等； 2、证明这两条线段所在三角形为等腰三角形； 3、找中间项等量代换； 4、证明特殊四边形； 5、求长度直接证明； 6、用比例线段证明。
比例线段证明两条线段相等
主讲：范平
用比例线段证明线段a和线段b相等的常见方法有三种：
方法一：构建
求证：E为AD的中点
分析：要证明AE=ED， 只需构建
AE ED a a 或 a a AE ED
图形分解
例2：如图，正方形ABCD中，EF⊥BE交CD于F,∠ABE=∠FBE 求证：E为AD的中点
证明：∵EF⊥BE，∴∠BEF=90° ∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=90°，∴∠BEF=∠A ∵∠ABE=∠FBE，∴△ABE∽△EBF ∴
AB BE AE EF AB BE 再由△BAE∽EDF，得出 ED EF AB AB ∴ ∴AE=ED,E即为AD中点 AE ED
AB AE 即 BE EF
例2：已知：在△ABC中，AM是BC边上的中线，D是AM上任 意一点，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F。 求证：ED=DF。
2、如图，已知：M为正方形ABCD 的边AB上一点，BP⊥CM于点P，N 是BC上一点，PD⊥PN. 求证：BM=BN。
3、如图，四边形ABCD，
∠ABD=∠ACD=90°，联结AD、BC， AD⊥BC，垂足为E， 求证：AB=AC谢谢如右图，由DE∥BC，可得
又因为AD=AH，将上面比例式替换得
再由右图中△BAH∽△BCF，可得 等量代换得
DE CF BC BC
所以DE=CF
GB 2 GE GF 例4:如图，已知ED∥BC， （1）求证：四边形为 ABCD 平行四边形； （2）联结GD，若∠GBC=∠FDG，求证：BG=DG
又∵BM=MC,
∴ED=DF
例3： 如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，CF⊥AB于F，
D是AB上一点，AD=AH,DE∥BC，
求证：DE=CF。
图形分解
要证明DE=CF，只要证明
DE CF ED DF 或 ( a b) a a a b
DE AD BC AB
DE AH BC AB AH CF AB BC
第2问分析：要证BG=DG，因为 ，所以只需证 DG2 GE GF GB 2 GE GF
GB 2 GE GF 例3:如图，已知，ED∥BC， （1）求证：四边形为 ABCD 平行四边形； （2）联结GD，若∠GBC=∠FDG，求证：BG=DG
（2）证明：∵BC∥ED， ∴∠GBC=∠GED ∵∠GBC=∠FDG ∴∠GED=∠FDG 又∵∠EGD=∠EGD ∴△GED∽△GDF ∴FG:DG=DG:EG 2 ∴ DG 2 GE GF 又∵ GB GE GF ∴BG=DG
课堂小结
用比例线段证明线段a和线段b相等的常见方法有三种：
方法一：构建
方法二：构建 方法三：构建
c c a b 或 推得a b a b c c
a c , 且b d（或 a c） 推得b d b d
a c a d , 由c 2 ab, d 2 ab, 推得c d c b d b
方法二：构建 方法三：构建
c c a b 或 推得a b a b c c
a c , 且b d（或 a c） 推得b d b d
a c a d , 由c 2 ab, d 2 ab, 推得c d c b d b
例1：如图，在正方形ABCD中，EF⊥BE交CD于F,∠ABE=∠FBE