因此
x(n) 1 X (e j )e jmd
2
(2.2.3) (2.2.4)
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
上式即是FT的逆变换。 (2.2.1)和(2.2.4)式组成一对 傅里叶变换公式。
(2.2.2)式是FT存在的充分必要条件， 如果引入冲 激函数， 一些绝对不可和的序列， 例如周期序列， 其 傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来， 这部分内 容在下面介绍。
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。 其中 傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换， 它和模拟域中 的傅里叶变换是不一样的， 但都是线性变换， 很多性 质是类似的。
本章学习序列的傅里叶变换和Z变换， 以及利用Z 变换分析系统和信号频域特性。 本章学习内容是本书 也是数字信号处理这一领域的基础。
x(n)=xe(n)+xo(n)
(2.2.16)
式中xe(n), xo(n)可以分别பைடு நூலகம்原序列x(n)求出。
将x0(n)表示成实部与虚部如下式：
xo(n)xo(rn )jo x(in)
可以得到
xo(rn)xo(rn) (2.2.14)
xo(in)xo(in)
(2.2.15)
即共轭反对称序列的实部是奇函数， 而虚部是偶函数。
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.2.2 试分析x(n)=e jωn的对称性 解： 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到：
对比上面两公式， 左边相等， 因此得到
xer(n)xer(n)
(2.2.11)
xe(in)xe(in)
(2.2.12)
由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数， 而虚 部是奇函数。
类似地， 可定义满足下式的称共轭反对称序列
xo(n)xo*(n)
(2.2.13)
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质
2.2.1 序列傅里叶变换的定义
定义
X(ej) x(n)ejn
(2.2.1)
n
为序列x(n)的傅里叶变换， 可以用FT(Fourier
Transform)缩写字母表示。 FT成立的充分必要条件是
序列x(n)满足绝对可和的条件， 即满足下式：
x*(-n)= e jωn 因此x(n)=x*(-n)， 满足(2.2.10)式， x(n)是共轭对 称序列， 如展成实部与虚部， 得到
x(n)=cosωn+j sinωn 由上式表明， 共轭对称序列的实部确实是偶函数， 虚部是奇函数。
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之 和表示， 即
(2.2.10)
则称xe(n)为共轭对称序列。 为研究共轭对称序列具 有什么性质， 将xe(n)用其实部与虚部表示
xe(n )xe(rn )je x(in )
将上式两边n用-n代替， 并取共轭， 得到
x e( n ) x e(r n ) je x (i n )
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
式中a, b为常数
3. 时移与频移
设X(e jω)=FT［x(n)］， 那么
FT[x(nn0)]ejn0X(ej) FT[ej0nx(n)]X(ej(0)
(2.2.8) (2.2.9)
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4. FT的对称性
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
设序列xe(n)满足下式：
xe(n)xe*(n)
e j(N1) /2 sin(N / 2) sin / 2
(2.2.5)
设N=4， 幅度与相位随ω变化曲线如图2.2.1所示。
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2.2 序列傅里叶变换的性质
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 2.2.1 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT
解：
N 1
X (e j )
RN (n)e jn
e jn
n
n0
1 1
e jN e j
e jN / 2 (e jN / 2 e jN / 2 ) e (e jN / 2 j / 2 e j / 2 )
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟
信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 Z变换分析信号和系统的频域特性
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引言
我们知道信号和系统的分析方法有两种， 即时域 分析方法和频率分析方法。 在模拟领域中， 信号一般 用连续变量时间t的函数表示， 系统则用微分方程描述。 为了在频率域进行分析， 用拉普拉斯变换和傅里叶变 换将时间域函数转换到频率域。 而在时域离散信号和 系统中， 信号用序列表示， 其自变量仅取整数， 非整 数时无定义， 而系统则用差分方程描述。
1. FT的周期性
在定义(2.2.1)式中， n取整数， 因此下式成立
X(ej) x(n)ej(2M)n,
n
M为整数(2.2.6)
因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数， 周期 是2π。
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2. 线性
设 X 1(ej)F T[x1(n)],X2(ej)F T[x2(n)], 那么 F T[ax1(n)bx2(n)]aX 1(ej)bX2(ej) (2.2.7)
x(n)
n
(2.2.2)
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
为求FT的反变换， 用e jωn乘(2.2.1)式两边， 并在 -π~π内对ω进行积分， 得到
X (e j )e jmd
[
x(n)e jn ]e jnd
n
x(n)
e j (mn)d
n
式中
e j (mn)d 2 (n m)