勾股定理知识点学习要求：学习重点是利用计算面积和拼图的方法探索并验证勾股定理借助三角形三边关系来 判断一个三角形是否是直角三角形。
难点是各种拼图的理解和勾股定理的应用。
中考执占：I <7 八、、八\、♦主要考查勾股定理及直角三角形判定条件的应用和勾股数常与三角形其他知识结合考查。
一、探索勾股定理：1•勾股定理（重点）内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b ，斜边为c ,那么a 2 b 2 c 2即:直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理， 只使用与直角三角形。
使用勾股定理时首先确定最长边即斜边。
2 •勾股定理的证明（难点）勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法二：见右图 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 — ab c 2 2ab c 2 2_222大正方形面积为 S （a b ） a 2ab b 所以a 2 b 2 c 2 111 方法三：S 梯形 （a b ） （a b ） , S 梯形2S ADE S ABE 22 2得证方法一：4SS 正方形EFGHSt 方形 ABCD ，1 4 ab 2(b a)2 c 2，化简可证.ba60 C . 76 D •803 •勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形（a 2 b 2 > c 2）和钝角三角形（a 2 b 2 v c 2的三边就不具有这一特征，因而在 应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4 •勾股定理的应用（重点）① 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中， C 90，则 c . a 2—b 2 , b . c^a 2 , a . c^b 2 ② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。
③ 可运用勾股定理解决一些实际问题④ 不能直接用勾股定理解决问题可通过添加辅助线转化为直角三角形在用勾股定理⑤ 、勾股定理的应用题型：折叠问题中的应用；测量问题中的应用；实际生活中的应用；方 案问题中的应用。
注：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系 的证明问题•在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜 边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线） ，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.5、例1、如图1是边长分别为a 、b 的两个正方形，经如图 2所示的割补可以得到边长为c 的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和•利用这个方法可以 推得或验证勾股定理•现请你通过对图 2的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是（）A.割⑤补⑥B.割③补①C.割①补④D.割③补②解答：B2、（ 2013资阳）如图1,点E 在正方形ABCD 内，满足 AEB 90 , AE=6, BE=8,则阴影部分的面积是A • 483、（ 2013安顺）如图，有两颗树，一颗高 10米，另一颗高4米，两树相距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A . 8 米B . 10 米C . 12 米D . 14 米 4、如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1 , 4）和（3, 0），点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是A . （0, 0）B . （0, 1）C . （0, 2）D . （0 , 3）BC 是3米，斜边AC 是5米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯的长是（）A 、5mB 、6mC 、7mD 、8m6、（ 2011宜宾）如图，矩形纸片 ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重 合，点B落在点F 处，折痕为AE ,且EF=3，则AB 的长为（）7、（ 2016宿迁）如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点 A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE .若AB 的长为2,则 FM 的长为&图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的在Rt △ ABC 中，若直角边 AC=6 , BC=5，将四个直角三角形中边长为 6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长 （图乙中的实线）是（A. 52B. 48C. 72D. 765、如图是一段楼梯，高 A. 3 B.4 C. 5 D. 6M圏甲9、•如图Rt ABC , C 90 AC 3,BC 4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来11、（2016临沂）如图，将一张矩形纸片 ABCD 折叠，使两个顶点 A 、C 重合，折痕为FG ,如图所示，在直SLtO 摆繭肴七个正方形，已亂5尸1, $旷2,岔心Sg,另外三*正方形的也长 分刖次乩b, c.（1）图中RtiABC 与 ___ 全等，刪DE 二」a=nAC 2+BC 2=_ ______ .⑵用上述（1）中患踰缶咖值.煨示=±ABC 与吐BDE 的斜辽相芋并且有一介第是盲魚只需二、一定是直角三角形吗？1、直角三角形的判定条件（重点）2 2 2如果三角形三边长 a ，b ，c 满足a b c ,那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a 2 b 2与较长边的平方c 2作比较，若它们相等时，以 a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若2 2 2 2 2 2a b c ,时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若a b c ，时，以a ，b ， c 为三边的三角形是锐角三角形；② 定理中a , b , c 及a 2 b 2 c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三10、如图 ABC 中， C 90 ,1 2，CD 1.5， BD 2.5，求 AC 的长若AB=4，BC=8，则△ ABF 的面积为.［来源学_科_网］C RE设一牛锐角相等冃阿1 _____边长a，b，c满足a2 c2 b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形2、勾股数（难点）①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ；6,8,10 ；5,12,13; 7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n2 1 （n 2, n 为正整数）；2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （n 为正整数）2 2 2 2m n ,2 mn,m n （m n, m , n 为正整数）注：⑴判断勾股数的方法：必须满足a2 b2 c2，必须是正整数，两者缺一不可。
⑵、勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.3、例1、已知：如图，/ B= / D=90。
，/ A=60 ° , AB=4 , CD=2。
求：四边形ABCD 的面积。
2、如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB = DC =8m , AD =BC =6m , AC =9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格D ----------------------- C考点：矩形的判定分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形.4、方案设计方面的应用如图，铁路A B 两站相距25km,C 、D 是两个工厂位于铁路的同侧，其中 CAL AB, DBL AB,且 AC=15km BD=10km1） 尺规作图，在铁路 AB 上找一个点E 建中转站，使得 CE=DE 请作这个点。
（作 CD 的中 垂线与AB的交点即为E 点）2） 此时中转站 E 距A 站多远，请求出来。
三、勾股定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中， 是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形， 又要用勾股定理求出边的长度， 二者相辅相成，完成对问题的解决.1、确定几何体上的最短路线（重点）在平面上解决最短路线的根据是线段的性质：在平面上，两点之间，线段最短，在 立体图形中，由于有一些面是曲面， 两点间的最短路线就不一定是两点间的线段长， 故应将其展开成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线.例、（2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm 、底面周长为18cm ,在杯内离杯 底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 A 竖直剖开）后侧面是一个长 18宽12的矩形， 作点A 关于杯上沿 MN 的对称点B ,连接BC 交MN 于点P ,连接BM ，过点C 作AB 的垂 线交剖开线MA 于点D 。
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP + PC 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且 AP=BP 。
A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（/\/\||1■ 1% *.. ................................................ -由已知和矩形的性质，得DC=9 , BD=12 。
在Rt △BCD 中，由勾股定理得 BCDC 2 BD 2 92 122 15。
:.AP + PC=BP + PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm 。
2（2OO9-®施州）如图,长方俸的长为师宽丸讪高为20.点B 禹点酣距离为5,— 只酬如舉淞长方低的*点谯到晶需要胆濮狀距离是（＞/ /|| 1 1C1 20 Vb E. 25 C. 10|5+5D.2、直角三角形的判别法的应用直角三角形的判别法常用于判断一个角是否是直角或判断三边关系，解题时一般需构造三角形，再根据三边关系判别该三角形是否为为一边的平方是否等于其它 两边的平方和即可.解答：直角三角形的判别法常用于判断一个角是否是直角或判断三边关系，解题时一般需构造三角形，再根据三边关系判别该三角形 是否为一边的平方是否等于其它 两边的平方和即可1例、如图正方形 ABCD , E 为BC 中点，F 为AB 上一点，且 BF= AB4--------------------------------- ----------------------------------% *% r*%%请问FE 与DE 是否垂直？请说明。