习题七2．用洛仑兹变换式和四维坐标矢量，导出洛仑兹变换矩阵。

解：洛仑兹变换式为./1/',',',/1'22222cv cvx t t z z y y cv vt x x --===--= （1）令，ict x z x y x x x ====4321,,,，按矢量的变换性质，则 νμνμx L x =' （2） μνL 为洛仑兹变换矩阵，设为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a L （3） 由（2）式矩阵计算为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321444342413433323124232221141312114321''''x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a x x x x （4） （4）式计算结果为4443432421411434333232131142432322212114143132121111''''x a x a x a x a x x a x a x a x a x x a x a x a x a x x a x a x a x a x +++=+++=+++=+++= (5)将（5）式和（1）式比较，不难得出γβγβγγ=-===44411411,,,a i a i a a 其中cv =β，.1122cv -=γL 中其余各量为0. 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=γβγβγγ0010*******i i L . 5．爱因斯坦在他创立狭义相对论的论文《论运动物体的电动力学》中说：“设有一个在电磁场里运动的点状单位电荷，则作用在它上面的力等于它所在的地方所存在的电场强度。

这个电场强度是我们经过场的变换变到与该电荷相对静止的坐标系所得出的。

”试以带电粒子在均匀磁场中作圆周运动为例说明爱因斯坦的观点。

解：设在惯性系∑中观察，空间有均匀磁场B ，电荷量为q 的粒子在这磁场中以速度v运动时所受的力为B v q F⨯=取笛卡儿坐标系使B 平行于y 轴，即 ()0,,0B B =q 受B 的作用在垂直于B 的平面内作匀速圆周运动。

设在某一时刻，取以匀速v相对于∑系运动的惯性系'∑，在'∑系中，q 便是瞬时静止的；再取x 轴和'x 轴平行于v，'y 轴平行于y 轴，根据电磁场的变换关系，'∑系中的电磁场为0'==x x E E ()0'=-=z y y vB E E γ ()vB vB E E y z z γγ=+='' 0'==x x B BB E c v B B z y y γγ=⎪⎭⎫⎝⎛+=2'0''2=⎪⎭⎫⎝⎛-=y z z E c v B B γ即()vB E γ,0,0'=()0,,0'B B γ=这时q 所受的力为()''''B v E q F⨯+=因为在'∑系中q 静止，0'=v，所以q 所受的力为'ˆ''z eq v B E q F γ==这个结果说明，在相对于q 静止的参考系中，电荷q 只受电场'E的作用力，作用于单位点电荷上的力就是该点的电场强度。

7．一电荷量为1q 的粒子以匀速v 沿x 轴运动, 此刻正处在原点O. 另一电荷量为2q 的粒子,此刻正处在r 处的P 点, 以速度u运动. 如图所示. 试求这时1q 作用在2q 上的力.解: 设题目所给的坐标系为∑系, 另取 一坐标系'∑,跟随1q 运动,则在'∑系中,1q 产生的电场为静电场''4'301==B r r q Eπε‘ (1)在∑系中, 1q 产生的电场为()().'4''','4''','4''301301301r z q vB E E r y q vB E E r x q E E y z z z y y x x πεγγπεγγπε=-==+=== (2) .''4'',''4'',0'31223122r y q c v E c vB B r z q c v E c v B B B B yz z z y y x x πεγγπεγγ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=== (3)现在将以上各式中'∑系的量变换为∑系中的量. 由题意, 以1q 经过∑系原点O 时为0=t ,故由洛仑兹变换z z y y x x ===',','γ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=++=222222222''''''γγz y x z y x r ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=22222222222221c r v r c v z y x x c v γγγ xzyr1q2quvO P代入(2)和(3), 得2/322220122141⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=c r v r c v rq c v Eπε (4).2E cvB ⨯=于是得出,在∑中观测,0=t 时刻,1q 作用在2q 上的力为 ()⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+=⨯+=E v c u q E q B u E q F 22221()22221c v E u q E c v u q⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=.式中E由(4)式表示.8．某星球发出的H a 线在其静止参考系中波长为o0A 6563=λ.若地球上的观察者测得该星球的运动速度为s km 300,试计算下列情况下地球上的观察者看到从该星球发出的H a 线的波长.该星球的运动方向与辐射方向所夹角为o o o 901800,,.解 多普勒效应的波长表示为)cos 1(0θγλ=λc v -其中 o0A 6563=λ c=3.0×108s m2211=cvγ- v=3.0×105s m①o 0=θ表示星球逆着观察者视方向，迎观察者而来，此时1=θcos 故o220A 6556≈+11=11=cv c v λcv c v λλ---（紫移）②o 180=θ表示星球顺着观察者的视方向，离观察者而去oA 6570≈1+1=cv c v λλ-（红移）③o 90=θ表示星球的运动方向与观察者的视方向垂直；由(1)式o0A 6563≈1=cv λλ- （横向红移）9．设有一发光原子，当其静止时，辐射的光波波长为0λ，现此原子以速度v 相对于惯性系S 运动，试求在该惯性系中顺v 的方向和垂直v 的方向传播的光波频率 。

解 按Lorentz 变换关系，设v 沿S 系中x 轴正方向，则S 中观察光的频率ω与原子静止坐标系中光频率ω′有如下关系)(x vk -ωγ=ω'设光波传播方向在S 系中与x 轴夹角为θ，则θcos c ωθcos k k x ==∴)os 1(θγω=ω'c v c-)os 1(θγω'=ωc v c -2=′λc πω ∴ )os 1(20θγλπ=ωc v c c -其中 cv -11=γ沿着v 方向光频率为 )1(20c -v c γλπ=ω垂直v 方向光频率为 γλπ=ω02c 。

10．设光源相对静止时刻得其波长为oA 6000. 问：当光源背离观察者以速度c v .50=退缩运动时，测得其波长为多少？解 设′∑为光源静止系，∑为观察者静止系，本题是属于光源背离观察者运动，即退行的情况oooA 10392=3A6000=50150+1A6000≈1+1=..ββλλ--12．证明：如果在一个惯性系中B E ⊥，则在其他惯性系中必然有B E ⊥。

解 根据电磁场变换关系，若∑系中有E 、B, '∑（相对∑以v 沿x 轴运动）中有E '、B '，则有变换关系332211B E B E B E ''+''+''=''∙B E 222323232232111))((1))((ββ--++-+-+=E cv B vB E E cv B vB E B E332211B E B E B E ++=B E ∙=显然，若在∑中B E ⊥,在'∑中亦有B E '⊥'。