解析几何中的范围问题一般解题思路是，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。

一、“题设条件中的不等式关系”题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。

例1、（2004全国卷 I ）椭圆 的两个焦点是，且椭圆上存在点P 使得直线垂直.求实数m 的取值范围；分析：对于（1），要求m 的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为标准方程，应有 ，便是特设条件中隐蔽的不等关系. 解：（1）由题设知设点P 坐标为 ，则有 得①将①与 联立，解得∵m>0，且 ∴m≥1 即所求m 的取值范围为 .二、“圆锥曲线的有关范围”椭圆、双曲线和抛物线的“范围”，是它们的第一几何性质。

例2、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线x y 162=的焦点P为其一个焦点，以双曲线191622=-y x 的焦点Q 为顶点。

(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点)0,1(),0,1(B A -，且C ，D 分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M 是线段CD 上的动点，求BM AM ⋅的取值范围。

解：(1)抛物线x y 162=焦点P 为(4，0)，双曲线191622=-y x 的焦点Q 为(5，0) ∴可设椭圆的标准方程为12222=+by a x （a>b>0），且a=5，c=4916252=-=∴b ，∴椭圆的标准方程为192522=+y x (2)设),(00y x M ，线段CD 方程为135=+yx ，即353+-=x y )50(≤≤x点M 是线段CD 上，∴35300+-=x y )50(0≤≤x),1(00y x AM +=，),1(00y x BM -=，12020-+=⋅∴y x AM ，将35300+-=x y )50(0≤≤x 代入得BM ⋅1)353(2020-+-+=x x BM AM ⋅⇒85182534020+-=x x 34191)3445(253420+-=x 500≤≤x ，BM AM ⋅∴的最大值为24，BM AM ⋅的最小值为34191。

BM AM ⋅∴的范围是]24,34191[。

三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。

因此，对于有关一元二次方程的判别式△>0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导出该量的不等式的原始不等关系。

例3、如图，直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝23，BC ＝21．椭圆C 以A 、B 为焦点且经过点D ．（1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程； （2）若点E 满足EC 21=AB ，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME =，若存在，求出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由． 解：（1）以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系，则 A （-1，0），B （1，0）设椭圆方程为：12222=+b y a x 令cb y C x 20=⇒=∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==322312b a a b C ∴ 椭圆C 的方程是：13422=+y x 。

（2）1(02EC AB E =⇒，)21，l ⊥AB 时不符，设l ：y ＝kx ＋m （显然k ≠0）由 01248)43(13422222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx yM 、N 存在⇒0)124()43(46402222>-+-⇒>⋅m k m k 2234m k ≥+⇒① 设M （1x ，1y ），N （2x ，2y ），MN 的中点F （0x ，0y ）∴ 22104342k kmx x x +-=+=，200433k m m kx y +=+= 243143421433121||||22200k m k k km k m k x y EF MN NE ME +-=⇒-=+--+⇒-=-⇒⊥⇒= 代入① ∴ 222)243(34k k +-≥+ ∴ 4342≤+k ∴ 102≤<k ∴ 11≤≤-k 且0≠k∴ l 与AB 的夹角的范围是0(，]41．四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”所给问题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。

比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等。

因此，点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。

其中，常用的充要条件为： 12、3、4、例4、求使抛物线()2:10C y ax a =-≠上有不同两点关于直线:0l x y +=对称。

求实数a 的取值范围。

解：设()11,A x y ， ()22,B x y 是C 上关于:0l x y +=对称的两点，易知0a >，()00,M x y 是A ，B 的中点。

则有2111y ax =-，2221y ax =- 两式相减得()()121212y y a x x x x -=-+ 又12121y y x x -=- 且 1202x x x +=021ax ∴= ， 012x a =， 012y a=-。

因为M 在抛物线内部所以2001y ax >-， 即 211124a a a ->⋅- 得34a >练习：1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)以双曲线x 23－y 2＝1的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为点A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点． ①求证：直线MA ，MB 的斜率之积为定值；②若直线MA ，MB 与直线x ＝4分别交于点P ，Q ，求线段PQ 长度的最小值．解：(1)易知双曲线x 23－y 2＝1的焦点为(－2,0)，(2,0)，离心率为23，则在椭圆C 中a ＝2，e ＝32，故在椭圆C 中c ＝3，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，点M 在椭圆C 上，则x 204＋y 20＝1由题易知A (－2,0)，B (2,0)，则k MA ＝y 0x 0＋2，k MB ＝y 0x 0－2， 故k MA ²k MB ＝y 0x 0＋2²y 0x 0－2＝y 20x 20－4，由x 204＋y 2＝1，有y 20＝1－x 204＝－14(x 20－4)，故k MA ²k MB ＝y 20x 20－4＝－14，即直线MA ，MB 的斜率之积为定值－14． ②设直线MA 的斜率为k ，则直线MA 方程为y ＝k (x ＋2)，从而P (4,6k )，由①知直线MB 的斜率为－14k ，则直线MB 方程为y ＝－14k (x －2)，故得Q (4，－12k )，故|PQ |＝|6k ＋12k |≥23，当且仅当k ＝±36时等号成立，即|PQ |有最小值2 3.2、设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；解：解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根， ∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ② 且,3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而 又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ ∴λ的取值范围是（12，+∞）. 直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x +y －4=0.3、已知椭圆的一个顶点A(0,－1)，焦点在x 轴上，且右焦点到直线的距离为3，若斜率不为0的直线l 与椭圆交于不同两点M 、N ，使M 、N 关于过A 点的直线对称，求直线l 的斜率取值范围。

解：（既设又解）设右焦点F(c,0)，则由又b ＝1，∴∴椭圆方程为①设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ②将②代入①得由题意③且④ ∴∴点P坐标为又M、N关于直线AP对称，故有⑤代入③得所求k的取值范围为 .。