东北育才学校高中部2014——2015学年度高三第八次模拟考试理科数学试题使用时间：2015.5.18命题人：高三数学备课组第Ⅰ卷(选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}40 <<∈=x N x A 的真子集．．．个数为 A.3B.4C.7D.82.已知z 是复数z 的共轭复数，0z z z z ++⋅=，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是 A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线3.已知向量a ()32, 0-=，b ()3, 1=，则向量a 在b 上的正射影的数量为 A.3B.3C.3-D.3-4．等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)a aa ⋅=A.10B.20C.40D.22log 5+ 5．已知1a ，22()+=xxf x a ，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是A.10x -<<B.21x -<<C.20x -<<D.01x <<6．459(1)(1)(1)x x x ++++⋯++展开式中，3x 项的系数为A.120B.119C.210D.2097.已知双曲线)0, 0( 12222>>=-b a by a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 A.02=±y xB.02=±y xC.034=±y xD.043=±y x8.“五一”期间，三个家庭（每家均为一对夫妇和一个孩子）去“抚顺三块石国家森林公园”游玩，在某一景区前合影留念，要求前排站三个小孩，后排为三对夫妇，则每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致的概率A.115B ．190C ．1180D ．13609.下列对于函数()3cos 2,(0,3)f x x x π=+∈的判断正确的是A.函数()f x 的周期为πB.对于,a R ∀∈函数()f x a +都不可能为偶函数C.0(0,3)x π∃∈,使0()4f x =D.函数()f x 在区间5[,]24ππ内单调递增 10.若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的取值范围是A.[1,3]-B.[1,11]C.]3,1[D.]11,1[-11.直角梯形ABCD ，满足,,222AB AD CD AD AB AD CD ⊥⊥===,现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时其外接球的体积为B.43πC.3πD.4π 12.设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 A.[1,2]- B.(1,2)- C.[2,1]- D.(2,1)-第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13.一个四棱柱的三视图如图所示， 则其表面积为_________14.已知过定点()2,0P -的直线l 与曲线22y x =-相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为15．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则._______=ab16.若数列{}n a 满足2111,2n n n a a a a +==+，n N +∈，且11n nb a =+，12n n P b b b =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，则2n n P S += .三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5sin 13B =，且,,a b c 成 等比数列.（Ⅰ）求11tan tan A C+的值； （Ⅱ）若cos 12,ac B =求a c +的值.18．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知,45︒=∠ABC O 在AB 上，且,32AB OC OB ==又PO ⊥平面1,//,2ABC DA PO DA AO PO ==. （Ⅰ）求证：PD ⊥平面COD ； （Ⅱ）求二面角B DC O --的余弦值．PDOB x yAC19．(本题满分12分)浑南“万达广场”五一期间举办“万达杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD 如图所示,其 中阴影区域的边界曲线近似为函数x A y sin =的图像）．每 队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1 人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖） （其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．（I ）求某队员投掷一次“成功”的概率；（II ）设X 为某队获奖等次，求随机变量X 的分布列 及其期望．20．(本题满分12分)已知曲线1C ：22144x y λ+=，曲线2C ：2221(01)44x y λλλ+=<<.曲线2C 的左顶点恰为曲线1C 的左焦点.(Ⅰ)求λ的值；(Ⅱ)设00(,)P x y 为曲线2C 上一点，过点P 作直线交曲线1C 于,A C 两点.直线OP 交曲线1C 于,B D 两点.若P 为AC 中点， ①求证：直线AC 的方程为0022x x y y +=；②求四边形ABCD 的面积.21.(本题满分12分)已知函数2()ln ,f x x ax x a R =++∈. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)已知0a <，对于函数()f x 图象上任意不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，其中21x x >，直线AB 的斜率为k ，记(,0)N u ，若(12),AB AN λλ=≤≤求证'().f u k <请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为弧BC 的中点，E 为BC 的中点． (Ⅰ)求证：DE ∥AB ； (Ⅱ)求证：AC ⋅BC=2AD ⋅CD ．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为42)4πρθ=+x（Ⅰ）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P (2,0)作斜率为1直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB+的值.24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()a x x f -=（Ⅰ）若()m x f ≤的解集为[]5,1-，求实数m a ,的值；（Ⅱ）当2=a 且20<≤t 时，解关于x 的不等式()()2+≥+x f t x f东北育才学校高中部2014——2015学年度高三第八次模拟考试理科数学答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C2.A3.D4.B5.A6.D7.C8.B9.C10.D11.B12.A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13.16+14.3015.10016.2三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.解：（1）依题意，2b ac =，由正弦定理及5sin 13B =，得225sin sin sin 169A CB ==. ………3分11cos cos sin()sin 13tan tan sin sin sin sin sin sin 5A C A C B A C A C A C A C ++=+===………6分 (2)由cos 12ac B =知，cos 0B >，又5sin 13B =，12cos 13B ∴=………8分从而21213cos b ac B===………10分又余弦定理，得22()22cos b a c ac ac B =+--，代入，解得a c +=………12分18．解：（Ⅰ）设1,2,1OA PO OB DA ====则，由//,DA PO PO ⊥平面ABC ，知DA ⊥平面,ABC DA AO ∴⊥.从而DO PD ==在PDO ∆中2PO =PDO ∆∴为直角三角形，故DO PD ⊥………3分又2,45OC OB ABC ==∠=︒，AB CO ⊥∴又PO ⊥平面,ABC,,PO OC PO AB ∴⊥⊂平面,PAB POAB O =，⊥∴CO 平面PAB故.PD CO ⊥∵CODO O =∴PD ⊥平面.COD…………6分（Ⅱ）以,,OC OB OP 所在射线分别为,,x y z 轴，建立直角坐标系如图 则由（Ⅰ）知，(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1)C B P D -,(0,1,1),(2,2,0),(0,3,1)PD BC BD ∴=--=-=-由（Ⅰ）知PD ⊥平面,COD PD ∴是平面DCO 的一个法向量， 设平面BDC的法向量为0220(,,),,300n BC x y n x y z y z n BD ⎧⋅=-=⎧⎪=∴∴⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令1y =，则1,3,(1,1,3)x z n ==∴=，……10分222cos ,11||||211PD n PD n PD n ⋅∴<>===- 由图可知，二面角B DC O --的余弦值为222.……12分 19．解：（I ）由题意知：1001010=⨯=矩形S ，20sin 520==⎰πxdx S 阴影………………………….2分记某队员投掷一次“成功”事件为A ， 则5110020)(===矩形阴影S S A P ……………………………………….4分 （II ）因为X 为某队获奖等次，则X 取值为1、2、3、4.1251)511(51)1(0333=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，12512)511(51)2(223=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 12548)511(51)3(2113=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，12564)511(51)4(3003=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P …….9分 X1 2 34……10分所以，X的期望51712564412548312512212511=⨯+⨯+⨯+⨯=EX………12分20．解：=12λ=…….2分（Ⅱ）①可得0000),(,)B D由2212OP ACbk ka⋅=-=-000:()()2xAC y y k x x x xy-=-=--即0022x x y y+=000,y x==:ACl x=0022x x y y+=…….2分②解法一：联立方程00221224xy xy yx y⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩220022200022(1)402x xx xy y y+-+-=即220024480x x x y-+-=A CAC x=-==,B D到AC距离12d d==121()2S AC d d=⋅+=4当y=时ABCD面积也为4 …….12分②解法二：联立方程000221224x y x y y x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩220022200022(1)402x x x x y y y +-+-= 即220024480x x x y -+-=A C AC x =-==O 到AC距离d =4ABCD AOC S ∆==当00y =时ABCD 面积也为4…….2分②解法三：000000(,),),(,)P x y B DBD =11(,)A x y ，00:0BD l y x x y -=A 到BD的距离为d =，又2222010*******,22,24x x y y x y x y +=+=+=，2222222222220011011001012220101010101018(2)(2)224(2)2()42()x y x y x x y x y x y y x x y y x y y x x y y x =++=+++=++-=+-则0101y x x y -. 又P 为AC 中点，则1242S d BD =⋅⋅⋅==.…….2分21．解;()f x 的定义域为(0,)+∞2121'()21ax x f x ax x x++=++=当0a ≥时，'()0f x >在(0,)+∞上恒成立，()f x 在定义域内单调递增；当0a <时，令'()0,f x =解得，x =（舍负）则x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；1()4x a--∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；综上，0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；0a <时，()f x的单调递增区间为1(0,4a-，()f x的单调递增区间为1()4a--+∞…….5分（2）证明：22212221112121ln ln y y x ax x x ax x k x x x x -++---==-- 211221ln ln ()1x x a x x x x -=+++-1222(,0),(,),(,),(12)N u A x y B x y AB AN λλ=≤≤21211(1)(),x x x x u x u λλλ+-∴-=-∴=，又1'()21f x ax x=++，2121(1)'()21(1)x x f u a x x λλλλ+-∴=+++-21212121ln ln '()(2)()(1)x x a f u k x x x x x x λλλλ-∴-=-+--+-- 21210,,12,(2)()0a a x x x x λλλ<>≤≤∴--< 要证：'().f u k <，只需证212121ln ln 0(1)x x x x x x λλ--<+-- 即证：212121()(ln ln )0(1)x x x x x x λλ---<+-，设211x t x => 令(1)()ln ,1t g t t t λλ-=-+-则2222(22)(1)'(),(1)t t g t t t λλλλ-+-+--=+- 令222()(22)(1),1,12h t t t t λλλλ=-+-+-->≤≤ 对称轴2(1)112t λ-+=≤. ()(1)0,h t h <='()0g t ∴<，故()g t 在(1,)+∞内单调递减，则()(1)0,g t g <=故'()f u k <.…….12分22．解：（Ⅰ）连接BD ，因为D 为弧BC 的中点，所以BD DC =．因为E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥．因为AC 为圆的直径，所以90ABC ∠=︒，所以//AB DE ．…5分 （Ⅱ）因为D 为弧BC 的中点，所以BAD DAC ∠=∠，又BAD DCB ∠=∠,则BCD DAC ∠=∠．又因为AD DC ⊥，DE CE ⊥，所以DAC∆∽ECD ∆． 所以AC AD CD CE=，AD CD AC CE ⋅=⋅,2AD CD AC BC ∴⋅=⋅.…10分24.（1）因为m a x ≤-所以m a x m a +≤≤-3,251==∴⎩⎨⎧=+-=-m a m a m a -------------5分（2）2=a 时等价于x t x ≥+-2当20,2,2<≤≥+-≥t x t x x 所以舍去 当,220,2,20+≤≤∴≥+-<≤t x x t x x 成立当x t x x -≥+-<2,0成立 所以，原不等式解集是⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,t -----------10分 A B DEO。