选择题、填空题的解法1．已知集合M＝{x|log2x<3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，则M∩N等于( )A．(0,8) B．{3,5,7}C．{0,1,3,5,7} D．{1,3,5,7}答案　D解析　∵M＝{x|0<x<8}，又N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，∴M∩N＝{1,3,5,7}，故选D.2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B．所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电C．高一参加军训的有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人D．在数列{a n}中，a1＝2，a n＝2a n－1＋1(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式3．1设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S13>0，S14<0，若a k·a k＋1<0，则k等于( ) A．6 B．7 C．13 D．14答案　B解析　因为{a n}为等差数列，S13＝13a7，S14＝7(a7＋a8)，所以a7>0，a8<0，a7·a8<0，所以k＝7.4．已知集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg x}，则(∁R A)∩B为( )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．[－1,1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)答案　C解析　因为A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }＝[－1,1]，B ＝{x |y ＝lg x }＝(0，＋∞)，所以(∁R A )∩B ＝(1，＋∞)．5．若a >b >1,0<c <1，则( )A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c答案　C解析　对于A ：由于0<c <1，∴函数y ＝x c 在(1，＋∞)上单调递增，则a >b >1⇒a c >b c ，故A 错；对于B ：由于－1<c －1<0，∴函数y ＝x c －1在(1，＋∞)上单调递减，∴a >b >1⇔a c －1<b c －1⇔ba c <ab c ，故B 错；对于C ：要比较a log b c 和b log a c ，只需比较和，只需比较和，a ln cln b b ln cln a ln c b ln b ln ca ln a 只需比较b ln b 和a ln a .构造函数f (x )＝x ln x (x >1)，则f ′(x )＝ln x ＋1>1>0，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此f (a )>f (b )>0⇒a ln a >b ln b >0⇒<，1a ln a 1b ln b 又由0<c <1，得ln c <0，∴>⇒b log a c >a log b c ，故C 正确；ln ca ln a ln cb ln b对于D ：要比较log a c 和log b c ，只需比较和，ln c ln a ln c ln b而函数y ＝ln x 在(1，＋∞)上单调递增，故a >b >1⇔ln a >ln b >0⇒<，1ln a 1ln b 又由0<c <1，得ln c <0，∴>⇒log a c >log b c ，故D 错，故选C.ln c ln a ln c ln b6．设有两个命题，命题p ：关于x 的不等式(x －3)·≥0的解集为{x |x ≥3}；命题q ：若函数y ＝kx 2x 2－4x ＋3－kx －8的值恒小于0，则－32<k <0，那么( )A ．“p 且q ”为真命题B ．“p 或q ”为真命题C ．“綈p ”为真命题D ．“綈q ”为假命题答案　C解析　不等式(x －3)·≥0的解集为{x |x ≥3或x ＝1}，所以命题p 为假命题．若函数y ＝kx 2－kx －8x 2－4x ＋3的值恒小于0，则－32<k ≤0，所以命题q 也是假命题，所以“綈p ”为真命题．7．不等式组Error!的解集记为D ，z ＝，有下面四个命题：y ＋1x ＋1p 1：∀(x ，y )∈D ，z ≥1; p 2：∃(x 0，y 0)∈D ，z ≥1；p 3：∀(x ，y )∈D ，z ≤2; p 4：∃(x 0，y 0)∈D ，z <0.其中为真命题的是( )A ．p 1，p 2B ．p 1，p 3C ．p 1，p 4D ．p 2，p 3答案　D8．设命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；命题乙：0<a <1，则命题甲是命题乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案　C解析　由命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 可知，当a ＝0时，原式＝1>0恒成立，当a ≠0时，需满足Error!解得0<a <1，所以0≤a <1，所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选C.9．已知a >0，b >0，若不等式－－≤0恒成立，则m 的最大值为( )m 3a ＋b 3a 1b A ．4 B ．16 C ．9 D ．3答案　B解析　依题意得m ≤(3a ＋b )＝10＋＋，(3a ＋1b )3b a 3a b 由a >0，b >0得10＋＋≥16，故m ≤16(当且仅当＝，即a ＝b 时，等号成立)，即m 的最大值为3b a 3a b 3b a 3a b16.10．若变量x ，y 满足Error!则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12答案　C解析　满足条件Error!的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，x 2＋y 2是可行域上的动点(x ，y )到原点(0,0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取得最大值，最大值为10.故选C.11．复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则复数z 的共轭复数为( )A ．－1－3iB ．－1＋3iC ．1＋3iD ．1－3i答案　A解析　∵z (2－i)＝1＋7i ，∴z ＝＝＝＝－1＋3i ，1＋7i2－i ∁1＋7i ∁∁2＋i ∁∁2－i ∁∁2＋i ∁－5＋15i 5共轭复数为－1－3i.12．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 2＝3＋2i ，则z 1·z 2等于()A ．13iB ．－13iC ．13＋12iD ．12＋13i答案　A 解析　由题意得z 1＝2＋3i ，故z 1·z 2＝(2＋3i)(3＋2i)＝13i.13．z ＝(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的点不可能位于( )m ＋i1－i A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案　D解析　z ＝＝，∁m ＋i ∁∁1＋i ∁∁1－i ∁∁1＋i ∁m －1＋∁m ＋1∁i 2由于m －1<m ＋1，故不可能在第四象限．26．在△ABC 中，B ＝，BC 边上的高等于BC ，则cos A 等于( )π413A. B. C ．－ D ．－310101010101031010答案　C解析　设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝，AD ＝BD ＝BC ，DC ＝BC ，π41323tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝＝－3，1＋21－1×2所以cos A ＝－，故选C.101027．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )551010[π4，π][π，3π2]A. B.7π49π4C.或D.或5π47π45π49π4答案　A解析　∵sin 2α＝，α∈，55[π4，π]∴2α∈，即α∈，cos 2α＝－，[π2，π][π4，π2]255又sin(β－α)＝，β∈，1010[π，3π2]∴β－α∈，cos(β－α)＝－，[π2，π]31010∴cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin (β－α)sin 2α＝×－×＝，(－31010)(－255)10105522又α＋β∈，[5π4，2π]∴α＋β＝，故选A.7π428．设函数y ＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是T ，将其图象向左平移T 个单位长度后，得到的图象如图所示，14则函数y ＝sin ωx (ω>0)的单调递增区间是( )A.(k ∈Z )[7k π6－7π24，7k π6＋7π24]B.(k ∈Z )[7k π3－7π24，7k π3＋7π24]C.(k ∈Z )[7k π3－7π12，7k π3＋7π12]D.(k ∈Z )[7k π6＋7π24，7k π6＋21π24]答案　A解析　方法一　由已知图象知，y ＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是2×＝，所以＝，解得ω＝，7π127π62πω7π6127所以y ＝sin x .由2k π－≤x ≤2k π＋得到单调递增区间是(k ∈Z )．127π2127π2[7k π6－7π24，7k π6＋7π24]方法二　因为T ＝，所以将y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移T 个单位长度后，2πω14所对应的解析式为y ＝sin ω.(x ＋π2ω)由图象知，ω＝，所以ω＝，(7π12＋π2ω)3π2127所以y ＝sin x .由2k π－≤x ≤2k π＋得到单调递增区间是(k ∈Z )．127π2127π2[7k π6－7π24，7k π6＋7π24]29．已知f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值可以是( )3A. B. C. D.π2π6π3π4答案　B解析　已知f ＝sin x ＋cos x ＝2sin ，(x )3(x ＋π3)y ＝f ＝2sin 关于直线x ＝0对称，(x ＋φ)(x ＋φ＋π3)所以f (0)＝2sin ＝±2，(φ＋π3)所以φ＋＝＋k π，k ∈Z ，φ＝＋k π，k ∈Z ，π3π2π6当k ＝0时，φ＝，故选B.π630．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－1，其图象与直线y ＝1相邻两个交点的距离为，若(ω>0，|φ|<π8)4π3f (x )>0对x ∈恒成立，则φ的取值范围是( )(－π8，π4)A. B.[－π12，0](－π8，－π24]C. D.[－π12，π8)[0，π12]答案　B31．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f 的值为________．(π3)答案　1解析　根据图象可知，A ＝2，＝－，3T 411π12π6所以周期T ＝π，ω＝＝2.又函数过点，2πT (π6，2)所以sin ＝1，又0<φ<π，(2×π6＋φ)所以φ＝，则f (x )＝2sin ，π6(2x ＋π6)因此f ＝2sin ＝1.(π3)(2π3＋π6)32．已知函数f (x )＝3sin (ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈，则f (x )(ωx －π6)[0，π2]的取值范围是________．答案　[－32，3]解析　由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ，(2x －π6)那么当x ∈时，－≤2x －≤，[0，π2]π6π65π6所以－≤sin ≤1，故f (x )∈.12(2x －π6)[－32，3]33．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，角B 为锐角，且sin 2B ＝8sin A ·sin C ，则的b a ＋c 取值范围为____________．答案　(63，255)解析　因为sin 2B ＝8sin A ·sin C ，由正弦定理可知，b 2＝8ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝＝∁a ＋c ∁2－2ac －b 22ac ∁a ＋c ∁2－54b 214b 2＝－5∈(0,1)，4∁a ＋c ∁2b 2令t ＝，t >0，则0<－5<1，b a ＋c 4t 2解得<t 2<，即t ∈.2345(63，255)34．已知集合M ＝Error!，若3∈M,5∁M ，则实数a 的取值范围是______________．答案　∪(9,25][1，53)解析　∵集合M ＝Error!，得(ax －5)(x 2－a )<0，当a ＝0时，显然不成立，当a >0时，原不等式可化为(x －)(x ＋)<0，(x －5a )a a 若<，只需满足Error!解得1≤a <；a 5a 53若>，只需满足Error!a 5a解得9<a ≤25，当a <0时，不符合条件．综上，a 的取值范围为∪(9,25]．[1，53)35．在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.猜想若正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是_______________________．答案　S ＋S ＋S ＝S 2122324解析　将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S ＋S ＋S ＝S .212232436．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．答案　32解析　由题意得log 2＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)，由程序框图的计算公式，可得n ＋1n ＋2S ＝(log 22－log 23)＋(log 23－log 24)＋…＋[log 2n －log 2(n ＋1)]＝1－log 2(n ＋1)，由S <－4，可得1－log 2(n ＋1)<－4⇒log 2(n ＋1)>5，解得n >31，所以输出的n 为32.。