等边对等角 三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底 边上的高和中线才有这一性 质.而腰上高和中线与底角 的平分线不具有这一性质.
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
12
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. B D C
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
典例精析
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
总结归纳
定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角).
A
B
C
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及 底边上的高线互相重合(三线合一）.
证明后的结论,以后可以直接运用.
A 综上可得：如图,在△ABC中,
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：
AF⊥BC.
A
A
B
D GE
B C
DF E
C
图①
图②
解析：(1)过A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质
得出BG＝CG，DG＝EG即可证明；(2)先证BF＝CF，
再根据等腰三角形的性质证明．
A
A
B
D GE
B C
1.两点确定一条直线；
2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直； 4.同位角相等，两直线平行； 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 8.三边分别相等的两个三角形全等.
2.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 __7_5_°__, _3_0_°__； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 __7_2_°__,_7_2_°__或__3_6°___,1_0_8_°； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 _3_0_°__,3_0_°___.
定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. A 等腰三角形的两个底角相等.
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=C.
B
C
可以运用全等三 角形的性质“对
如何证明两个 角相等呢？
应角相等”来证
思考：如何构造两个全等的三角形？
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方 法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相 等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两 个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？
方法二：作顶角的平分线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明：作顶角的平分线AD， 则∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△CAD中 AB=AC ( 已知 ),
B DC
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
A 分析：（1）找出图中所有相等的角；
∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC=∠ABC；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
D
△ABC, △ABD, △BCD.
B
C
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关
系，∠ABC、∠C呢？
A
⌒
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
x
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
D
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
2x
（4）设∠A=x°,请把△ ABC的内
2x
角和用含x的式子表示出来.
B
C
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °,
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
A
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
⌒
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. A
D
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
B CE F
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
∴∠C=∠F（等量代换）.
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.回顾全等三角形的判定和性质; 2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用
其解决基本的几何问题.(重点)
导入新课
情境引入 问题1：图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?Fra bibliotek讲授新课
一 全等三角形的判定和性质
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）. 问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上 面的推论吗？
证弄一明清个一楚命个证题命明的题的一般步骤: (1一)弄般清步题骤设是和结论； (2解)根题据的题关意键画出相应的图形； (3)根据题设和结论写出已知和求证； (4)分析证明思路,写出证明过程.
x
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
D
于是在△ABC中，有
2x
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 2x
解得x=36 °，在△ABC中，
B
C
∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
归纳 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用
方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
例2 如图①，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
DF E
C
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE
＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
当堂练习
1.如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使 △ABC≌ △AED，还需添加一个条件，这个条件 可以是____∠__C__＝__∠__D_（__答__案__不__唯__一__）___．
∵BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
总结归纳 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）. 根据全等三角形的定义，我们可以得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
二 等腰三角形的性质及其推论
问题引入 问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 定理:等腰三角形的两个底角相等. 推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边 上的高互相重合(三线合一). 问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C 之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和 你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
A
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的
性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，
∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， B D C 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶
结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.
① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°
课堂小结
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
等腰 三角 形的 性质
埃及金字塔
斜拉桥梁
体育观看台架
问题2：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放 在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经 过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中 反映了什么数学原理?
七思下考“：轴你对能称证”中明学等过腰的三等角腰形三的角“三形线的合“三一线”吗合？一”.
问题3 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学 了哪8条基本事实？
方法一：作底边上的中线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD.
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)，
B DC
还有其他的 证法吗？
∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).