12 真空中的静电场 12.1电荷、场强公式1. 如图所示，在直角三角形ABC 的A 点处，有点电荷q 1 = 1.8×10-9C ，B 点处有点电荷q 2 = -4.8×10-9C ，AC = 3cm ，BC = 4cm ，则C 点的场强的大小为(A) 4.5⨯104(N ⋅C -1). (B) 3.25⨯104(N ⋅C -1). 答案：(B)参考解答：根据点电荷的场强大小的公式，点电荷q 1在C 点产生的场强大小为)C (N 108.1)(4142011-⋅⨯==AC q E πε，方向向下．点电荷q 2在C 点产生的场强大小为)C (N 107.2)(4142022-⋅⨯==AC q E πε，方向向右．C 处的总场强大小为：),C (N 1025.3142221-⋅⨯=+=E E E总场强与分场强E 2的夹角为.69.33arctan 021==E E θ对于错误选择，给出下面的分析：答案(A)不对。

你将)C (N 105.410)7.28.1(14421-⋅⨯=⨯+=+=E E E 作为解答。

错误是没有考虑场强的叠加，是矢量的叠加，应该用),C (N 1025.3142221-⋅⨯=+=E E E进入下一题：2. 真空中点电荷q 的静电场场强大小为2041rqE πε= 式中r 为场点离点电荷的距离．当r →0时，E →∞，这一推论显然是没有物理意义的，应如何解释？参考解答：点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当r →0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适用．若仍用此式求场强E ，其结论必然是错误的．当r →0时，需要具体考虑带电体的大小和电荷分布，这样求得的Ｅ就有确定值．进入下一题： 12.2高斯定理1. 根据高斯定理的数学表达式⎰∑⋅=Sq S E 0/d ε可知下述各种说法中，正确的是：(A) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零．(B) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定处处为零．(C) 闭合面上各点场强均为零时，闭合面内一定处处无电荷．答案：(B) 参考解答：高斯定理的表达式：∑⎰==⋅ni i S q s E 101d ε .它表明：在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合面所包围的电荷电量代数和的0/1ε倍。

对高斯定理的理解应注意：高斯定理左端的场强是曲面上的各点的总场强，它是由全部空间电荷(既包括闭合曲面内的电荷，也包括闭合曲面外的电荷)共同产生的电场强度的矢量和。

高斯定理右端只对闭合曲面内的电荷求和，这说明通过闭合曲面的电通量只取决于曲面内的电荷。

尽管闭合曲面外的电荷对穿过整个闭合曲面的电通量没有贡献，但对通过闭合曲面上的部分曲面的电通量却是有贡献的。

选择(A)，进入下面的思考：1.1如果通过闭合面S 的电通量Φe 为零，是否能肯定面S 上每一点的场强都等于零？参考解答：不能肯定。

若闭合曲面 S 上的S E ΦS ed ⋅=⎰为零，并不能说明被积函数在S 上处处为零。

举两个小例子，如图（a ）所示，点电荷 q 在高斯面 S （S 不一定是球面，这里只是为画图简单而画成了球面）之外，S 上的电通量为零，但S 上各处场强均不为零。

另如图（b ）所示，高斯面 S 内有两个等量异号的点电荷，同样是S 上的电通量为零，但S 上各处场强均不为零。

“高斯面上的电通量为零，高斯面上的场强就为零”，这是在学习高斯定理时常有的错误观念，一定要注意。

如果把本题的命题倒过来，即高斯面S 上每一点的场强都等于零，那么肯定有S 上的电通量Φe 为零。

在导体问题的讨论中，我们正是“故意地”把高斯面S 取在导体上，利用静电平衡时导体内场强处处为零的条件和高斯定理来分析某些导体问题的。

选择(C)，进入下面的思考：1.2在静电场空间作一闭合曲面，如果在该闭合面上场强Ｅ处处为零，能否说此闭合面内一定没有电荷？举例说明．参考解答：不一定．闭合面上场强E 处处为零，则穿过此闭合面的电场强度通量Φ＝0．由高斯定理知，闭合面内的电荷代数和为零．这可能有两种情况：一是闭合面内确无电荷；另一是闭合面内有电荷，但正电荷与负电荷之代数和为零．因此，只能说在闭合面内没有净电荷．例如，图中所示的两个半径不相等的均匀带电的同心球面，内球面上有正电荷，外球面上带等量的负电荷的情况，在它们的外面作一任意形状的闭合面，闭合面上场强E 处处为零，但面内并非没有电荷.进入下一题：2. 下列关于高斯定理∑⎰⋅=/d εq S E S的说法中(1) ∑q 为闭合面内所有电荷的代数和．(2) 闭合面上各点场强E仅由面内电荷决定，与面外电荷无关． (3) 闭合面的电场强度通量仅取决于面内电荷，与面外电荷无关． 正确的是(A) (1)，(2). (B) (1)，(3).答案：(B) 参考解答：(2) 错误，应改为闭合面上场强与面内、面外电荷都有关．注意：虽然电通量只与高斯面内电荷有关，但是面上电场却与面内、面外电荷都有关。

电通量与电场是不同的物理量，各服从不同的物理规律。

对于所有选择，给出参考解答，进入下一题：12.3对称性分布的静电场1. 图中所示曲线表示某种球对称性静电场的场强大小E 随径向距离r 变化的关系，请指出该电场是由下列哪一种带电体产生的．(A) 半径为R 的均匀带电球面；(B)半径为R 的均匀带电球体；(C) 点电荷；(D) 外半径为R ，内半径为R / 2的均匀带电球壳体． 答案：(A) 参考解答：根据高斯定理，可得均匀带正电球面电场中的场强分布：204r q E πε=)(R r >E 的方向沿径向， 0=E )(R r <.显然答案(A)正确。

对于所有选择，给出下面的相关资料：高斯定理的应用只有当电荷和电场分布具有某种对称性时, 才可用高斯(Gauss)定理求场强. 步骤:(1) 由电荷分布对称性分析电场的对称性；(2) 据电场分布的对称性选择合适的闭合曲面(高斯面)； (3) 应用高斯定理计算场强。

关键: 选取合适的闭合曲面高斯面。

进入下一题：2. 图中所示为轴对称性静电场的E ～r 曲线，请指出该电场是由下列哪一种带电体产生的(E 表示电场强度的大小，r 表示离对称轴的距离)．(A) “无限长”均匀带电圆柱面； (B) “无限长”均匀带电圆柱体； (C) “无限长”均匀带电直线； (D) “有限长”均匀带电直线．答案：(C) 参考解答：EE根据高斯定理，求“无限长”均匀带电直线电场中的场强分布：电场分布有轴对称性，方向沿径向，如图所示取闭合曲面S ，设均匀带电直线电荷线密度为.λ,12d d d d d 0l rlE S E S E S E S E S E ΨS e λεπ==⋅=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰侧面侧面下面上面.120rr E ∝=πελ对于所有选择，给出参考解答，进入下一题：3. 图示为一具有球对称性分布的静电场的E ～r 关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的． (A) 半径为R 的均匀带电球面．(B) 半径为R 的均匀带电球体． (C) 半径为R 的、电荷体密度为ρ＝A r (A 为常数)的非均匀带电球体．(D) 半径为R 的、电荷体密度为ρ＝A/r (A 为常数)的非均匀带电球体．答案：(B) 参考解答：根据高斯定理，求半径为R 的均匀带电球体电场中的场强分布：电场分布有球对称性，方向沿径向，如图所示取闭合曲面S 1（球体内同心球面）和S 2（球体外同心球面），设均匀带电球体电荷体密度为ρ，总电量q.,3414d d 30211ρπεπr E r S E S E ΨS S e ⋅==⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰ )43(3R q πρ= r R qr E 300431περε==),(R r ≤ ,14d d 0222q E r S E S E ΨS S e ⋅==⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰επ 204r q E πε= ).(R r >对于所有选择，给出参考解答，进入下一题：E12.4对称性静电场的电势分布1. 图中所示曲线表示球对称或轴对称静电场的某一物理量随径向距离r 变化的关系，该曲线所描述的是(E 为电场强度的大小，U 为电势) (A) 半径为R 的无限长均匀带电圆柱体电场的E~r 关系．(B) 半径为R 的无限长均匀带电圆柱面电场的E~r 关系．(C) 半径为R 的均匀带正电球面电场的U~r 关系．(D) 半径为R 的均匀带正电球体电场的U~r 关系．答案：(C) 参考解答：已知电场的分布，且电场具有某种对称性，通常可由⎰⋅=参考点PP l E Ud 求电势。

例如：求均匀带电球面 (R , q ) 电场中电势的分布。

已知204rq E πε=)(R r >， 0=E )(R r <.因为E 的方向沿径向，故选取沿径向的直线为积分路径，⎰⎰∞∞⋅=⋅=P P P r E l E U ,d d当 r > R 时, ⎰⎰⎰∞∞∞=⋅=⋅=⋅=P rP P rq r rq r E l E U .4d 4d d 020πεπε当 r ≤ R 时, ⎰⎰⎰⎰∞∞∞=⋅+⋅=⋅=⋅=r RRr P P Rq r rq r r E l E U .4d 4d 0d d 020πεπε对于所有选择，给出参考解答，进入下一题：2. 确定静电场中某点的电势，为什么必须选定一个电势零点？参考解答：静电场中某点电势在数值上等于单位正电荷置于该点所具有的电势能．电势能的改变是以电场力作功来度量的，电势能只是一个相对的量，因而电势也是一个相对的量，故必须选定一个电势零点，而静电场中某点的电势就等于该点与电势零点之间的电势差．进入下一题： 12.5电场力作功1. 点电荷-q 位于圆心O 处，A 、B 、C 、D 为同一圆周上的四点，如图所示．现将一试验电荷从A 点分别移动到B 、C 、D 各点，则 (A) 从A 到B ，电场力作功最大． (B) 从A 到C ，电场力作功最大．(C) 从A 到D ，电场力作功最大． (D) 从A 到各点，电场力作功相等． 答案：(D)参考解答：根据静电场力的功与电势差的关系：)(00a b ba ab U U q l d E q A --=⋅=⎰ ， 点电荷位于圆心0，则同一圆周上的各点，电势相同。

将一试验电荷从A 点分别移动到B 、C 、D 各点，因为电势差相同，则电场力作功相等。

对于所有选择，给出下面的相关资料：2. 静电场的环路定理，静电力作功的特点。

参考解答：静电场的环路定理：静电场中场强E沿任意闭合路径的线积分等于零．其数学表达式为：0d =⎰⋅l E L.它表示在静电场中把单位正电荷从某点出发经任意闭合路径回到原来位置，静电场力作功等于零. 这表明静电场是保守力场． 静电力作功的特点：电荷在静电场中移动过程，静电场力作的功只与电荷大小及路径的起点与终点位置有关，与路径无关。