Leslie 人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。

如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。

20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。

模型假设(1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。

假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔m S /年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化;(2) 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记)](,),(),([)(21t n t n t n t n m =第i 年龄组女性生育率为i b （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为i d ，记1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化;(3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响;(4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。

建立模型与求解根据以上假设，可得到方程)1(1+t n =∑=mi i i t n b 1)()()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为)()1(t Ln t n =+其中，L =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000000121121m m m s s s b b b b（1） 记)]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = （2）假设n （0）和矩阵L已经由统计资料给出，则t1+t()(0),0,1,2,t n t L n t ==为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件： (i) s i > 0，i =1，2，…，m -1;(ii) b i 0≥，i =1，2，…，m ，且b i 不全为零。

易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。

在条件（i ）、（ii ）下，下面的结果是成立的： 定理1L 矩阵有唯一的单重的正的特征根0λλ=，且对应的一个特征向量为*n =[1，s 1/0λ，s 1s 2/20λ，…，s 1s 2 …s m -1/1-m λ]T（3） 定理2若1λ是矩阵L 的任意一个特征根，则必有01λλ≤。

定理3若L 第一行中至少有两个顺次的0,1>+i i b b ，则（i ）若1λ是矩阵L 的任意一个特征根，则必有01λλ<。

（ii ）t t t n 0/)(lim λ+∞>-=*cn ， （4）其中c 是与n （0）有关的常数。

定理1至定理3的证明这里省去。

由定理3的结论知道，当t 充分大时，有*)(0n c t n t λ≈ (5) 定理4记121i i i b s s s β-=，q （λ）=1β/λ+2β/λ2+…+m β/m λ，则λ是L 的非零特征根的充分必要条件为q （λ）=1 （6）所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按λ－1的比例增长。

由（5）式可得到如下结论：(i) 当λ>1时，人口数最终是递增的； (ii) 当λ<1时，人口数最终是递减的； (iii) 当λ=1时，人口数是稳定的。

根据（6）式，如果λ=1，则有b1 + b2s1 + b3s1s2 + … + b m s1s2…s m-1=1记R= b1 + b2s1 + b3s1s2 + … + b m s1s2…s m-1（7）R称为净增长率，它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数。

当R>1时，人口递增；当R<1时，人口递减。

Leslie模型有着广泛应用，这里我们给出一个应用的例子，供大家参考。

公园大象管理南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000头左右。

每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。

过去20年里，公园每年都要处理一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现。

统计表明，每年约处理600-800头大象。

近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。

但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。

一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。

公园有一些关于大象的资料，供建模参考：1几乎不再迁入或迁出大象；2目前性别比接近1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；3初生象的性别比也是大约1：1，生双胎的比例为1.35%4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月；5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每3.5年生育1次,所以按月循坏的方案是不足取的；6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95%以上,大象一般只活到70岁；8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑；公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；你的任务是,构造一个模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数.同时需要完成以下任务：1 建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构；2估计每年需要避孕多少大象,才能保证大象总数控制在11000头左右,说明数据不确定性对你的结论的影响,评价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,(你可能被要求观察30-60年)；3假设每年可以移出50-300头大象,避孕大象数可以减少多少,评价如何根据经济效益平衡两种方案；4有一些反对观点认为,假如出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使停止避孕,也会对大象群的恢复存在不良影响,研究并回答这个问题；5公园公管理部门正在构造模型,特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型指导决策的观点.希望你的模型包括一份技术报告能给公园管理部门提一些建议，提高公园管理部门的信心,除此之外,你的报告,还应该包括一个详细的技术流程(最多3页)回答公共关心的问题。

6假如非洲其它公园对你的模型感兴趣,有意利用你的模型,请为公园大象数在300-25000头规模的公园提供一份避孕计划,顺便考虑一下存活率稍有不同或者可以有迁移的情况.附过去两年的迁出数据年龄 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9总量1 103 77 71 70 68 61 58 51 52 51母象1 50 36 41 29 31 30 28 24 22 29总量2 98 74 69 61 60 54 52 59 58 57母象2 57 34 33 29 34 28 27 31 25 25年龄 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19总量1 51 50 51 48 47 49 48 47 43 42母象1 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25总量2 60 63 64 60 63 59 52 55 49 50母象2 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30年龄 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29总量1 42 37 39 41 42 43 45 48 49 47母象1 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27总量2 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40母象2 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16年龄 30 31 32 33 3 4 35 36 37 38 39总量1 46 42 44 44 46 49 47 48 46 41母象1 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24总量2 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26母象2 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13年龄 40 41 42 43 4 4 45 46 47 48 49 总量1 41 42 43 38 34 34 33 30 35 26 母象1 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11 总量2 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19 母象2 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9 年龄 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 总量1 21 18 14 5 9 7 6 0 4 4 母象1 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2 总量2 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0 母象2 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0 年龄 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 总量1 4 3 2 2 1 3 0 2 1 0 2 母象1 2 1 1 1 0 3 0 0 1 0 2 总量2 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0 母象2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0假设与分析1大象性别比接近1：1，初生象的性别比也是大约1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；2过去两年迁出的大象是随机抽样，其结构反映了象群总体的年龄结构；3 避孕是随机的，母象是否避孕是不可识别的，假设各个年龄的母象是等比例避孕的，比例系数为k ，仅通过调节k 来控制公园大象数量；4母象初次怀孕大约在10-12岁,简化假设大象初孕时间为11岁，当前状态下，成年象的成活率为s ，生育母象率为r ，老年象的成活率是线性逐渐递减的，因此其成活率可表示为(70)/10,(6070)i s s i i =-≤≤设初生象活到1岁的存活率为0s 。

5避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；且无论打避孕针前母象是否怀孕，一旦打了避孕针，母象就被避孕或中止怀孕，平均每年有γ比例的母象处于避孕状态；每年母象的避孕率为η，每年的避孕方案时瞬时完成的。

6假设大象的年龄结构是稳定的。

数据处理与分析（1）2-60岁大象的存活率与年龄结构 母象生育率为r =1/3.5+(1+0.0135)/2=0.1448头/年 12岁的母象生育母象的生育率为r /6。

由题设知道存活率)99.0,95.0( s 。

以下是第一年迁移出0至70岁大象数据x1=[103,77,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51,48,47,49,48,47,43,42,42,37,39,41,42,43,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4, 4, 4 ,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2 ]; 以下是第二年迁移的0-70岁大象数据x2=[98,74 69 61 60 54 52 59 58 57 60 63 64 60 63 59 52 55 49 50 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0];x=x1+x2;x0=x/norm(x,1);以下是第一年迁移的0-59岁母象数据y1=[50 36 41 29 31 30 28 24 22 29 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2]; 以下是第二年迁移的0-59岁母象数据y2=[57 34 33 29 34 28 27 31 25 25 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0];考虑到有些数据较小及抽样的随机性，我们取两次抽样的平均值作为分析的基本数据。